\(f(x) = x^3-x\) とし, \(t\) を実数とする. \(xy\) 平面において, 曲線 \(y = f(x)\) を \(C _ 1\) とし, 直線 \(x=t\) に関して \(C _ 1\) と対称な曲線 \[ y = f (2t-x) \] を \(C _ 2\) とする.
(1) \(C _ 1\) と \(C _ 2\) が \(3\) 点で交わるとき, \(t\) のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) \(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(C _ 1\) と \(C _ 2\) で囲まれた部分の面積 \(S\) の最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align}
f(2t-x) & = (2t-x)^3 -(2t-x) \\
& = -x^3 +6tx^2 -( 12t^2-1 ) x +2t ( 4t^2-1 ) \ .
\end{align}\]
なので, \(f(x) = f(2t-x)\) より
\[\begin{align}
x^3 -x = -x^3 +6tx^2 -( 12t^2-1) x & +2t(4t^2-1) \\
x^3 -3tx^2 +( 6t^2 -1 )x -t( 4t^2-1 ) & = 0 \\
\text{∴} \quad (x-t) \underline{ \left\{ x^2 -2tx +( 4t^2-1 ) \right\}} _ {[1]} & = 0 \ .
\end{align}\]
これが \(3\) つの異なる解をもつのは, \([1] = 0\) が \(x = t\) 以外の異なる \(2\) つの解をもつときである.
\([1] = 0\) の判別式 \(D\) について
\[\begin{align}
\dfrac{D}{4} = t^2 -( 4t^2-1 ) & \gt 0 \\
3t^2 -1 & \lt 0 \\
\text{∴} \quad -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \lt t & \lt \dfrac{\sqrt{3}}{3} \ .
\end{align}\]
このとき, \(2\) つの解を \(\alpha , \beta \ ( \alpha \lt \beta )\) とおくと
\[
\alpha = t - \sqrt{1 -3t^2} , \ \beta = t + \sqrt{1 -3t^2} \ .
\]
なので, \(\alpha , \beta \neq t\) である.
よって, 求める条件は
\[
\underline{-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \lt t \lt \dfrac{\sqrt{3}}{3}} \ .
\]
(2)
解と係数の関係より
\[
\alpha +\beta = 2t , \ \alpha \beta = 4t^2-1 \quad ... [2] \ .
\]
囲まれた部分も \(x=t\) について対称であることを用いれば
\[\begin{align}
S & = 2 \displaystyle\int _ {\alpha}^{t} \left\{ f(x) -f(2t-x) \right\} \, dx \\
& = 4 \displaystyle\int _ {\alpha}^{t} (x-t)( x-\alpha )( x-\beta ) \, dx \\
& = 4 \displaystyle\int _ {\alpha}^{t} (x-t)( x-t -\alpha +t )( x -t -\beta +t ) \, dx \\
& = 4 \displaystyle\int _ {\alpha}^{t} \left\{ (x-t)^3 -\left( \alpha +\beta -2t \right) (x-t)^2 \right. \\
& \qquad \qquad \qquad \left. +\left( \alpha -t \right) \left( \beta -t \right) (x-t) \right\} \, dx \\
& = 4 \left[ \dfrac{(x-t)^4}{4} -(1-3t^2) \dfrac{(x-t)^2}{2} \right] _ {\alpha}^{t} \\
& = -(1-3t^2)^2 +2 (1-3t^2)^2 \\
& = (1-3t^2)^2 \leqq 1 \ .
\end{align}\]
等号成立は \(t = 0\) のときである.
よって, \(S\) の最大値は
\[
\underline{1} \ .
\]