\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする. \(4\) 個の行列 \[\begin{align} A & = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) , \quad B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) , \\ C & = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) , \quad D = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \ . \end{align}\] を重複を許して \(n\) 個並べたものを \[ M _ 1 , M _ 2 , \cdots , M _ n \ . \] とする.
(1) 積 \(M _ 1 M _ 2 \cdots M _ n\) が定義できる場合は何通りあるか. その数を \(n\) の式で表せ.
(2) 積 \(M _ 1 M _ 2 \cdots M _ n\) が定義できて, その積が零行列でない \(2 \times 3\) 行列となる場合は何通りあるか. その数を \(n\) の式で表せ.
(3) 積 \(M _ 1 M _ 2 \cdots M _ n\) が定義できて, その積が零行列とならない場合は何通りあるか. その数を \(n\) の式で表せ.
【 解 答 】
(1)
\(X _ n = M _ 1 M _ 2 \cdots M _ n\) とおく.
\(k \times \ell\) 行列 \(P\) と \(\ell \times m\) 行列 \(Q\) に対して積 \(PQ\) が定義できて, その積は \(k \times m\) 行列になる.
したがって, \(2 \times 2\) 行列, \(2 \times 3\) 行列, \(3 \times 2\) 行列, \(3 \times 3\) 行列どうしの積は下表のとおりとなる（積が定義できない場所は×, できる場所は積の行列の形）.
\[
\begin{array}{c|cccc} PQ & 2 \times 2 & 2 \times 3 & 3 \times 2 & 3 \times 3 \\ \hline 2 \times 2 & 2 \times 2 & 2 \times 3 & \times & \times \\ 2 \times 3 & \times & \times & 2 \times 2 & 2 \times 3 \\ 3 \times 2 & 3 \times 2 & 3 \times 3 & \times & \times \\ 3 \times 3 & \times & \times & 3 \times 2 & 3 \times 3 \end{array}
\]
このことから, \(X _ n \ ( n \geqq 1 )\) は \(2 \times 2\) 行列, \(2 \times 3\) 行列, \(3 \times 2\) 行列, \(3 \times 3\) 行列のいずれかである.
また, 上の表から, \(X _ n\) に対して \(X _ {n+1}\) を定義できるような \(M _ {n+1}\) は \(2\) 通りある.
よって, \(X _ 1\) は \(A , B , C , D\) の \(4\) 通りあるので, \(X _ n\) が定義できる場合の数は
\[
4 \cdot 2^{n-1} = \underline{2^{n+1}} \ .
\]
(2)
\(A , D\) はそれぞれ \(2\) 次, \(3\) 次単位行列なので
\[\begin{align}
AA & = A , \ CA = C , \ AB = B , \\
DC & = C , \ BD = B , \ DD = D \ .
\end{align}\]
さらに
\[\begin{align}
BC & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) \\
& = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) = O , \\
CB & = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \\
& = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right) \ .
\end{align}\]
これを \(F\) とおくと
\[\begin{align}
FD & = DF = F , \\
FF & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right) \\
& = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) = O , \\
BF & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right) \\
& = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) = O , \\
FC & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) \\
& = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) = O \ .
\end{align}\]
以上より, \(A , B , C , D , F\) どうしの積は定義されるとき, 下表のように零行列か \(A , B , C , D , F\) のいずれかになる.
\[
\begin{array}{c|ccccc} & A & B & C & D & F \\ \hline A & A & B & \times & \times & \times \\ B & \times & \times & O & B & O \\ C & C & F & \times & \times & \times \\ D & \times & \times & C & D & F \\ F & \times & \times & O & F & O \end{array} \ .
\]
\(X _ n\) が零行列ではない \(2 \times 3\) 行列となるときは, \(X _ n = B\) であり, このようになるのは, \(0 \leqq k \leqq n-1\) に対して
\[
M _ 1 = \cdots = M _ k = A , \ M _ {k+1} = \cdots = M _ n = B \ .
\]
であるとき.
よって, 求める場合の数は
\[
{} _ {n} \text{C} {} _ {1} = \underline{n} \ .
\]
(3)
\(X _ n\) の種類によって, 場合分けして考える.
1* \(X _ n = A\) のとき \[ M _ 1 = \cdots = M _ n = A \ . \] であるときに限るので, \(1\) 通り.
2* \(X _ n = B\) のとき
(2) の結果より, \(n\) 通り.3* \(X _ n = C\) のとき
(2) のときと同様に考えれば, \(0 \leqq k \leqq n-1\) に対して \[ M _ 1 = \cdots = M _ {k-1} = D , \ M _ {k+1} = \cdots = M _ {n} = A \ . \] であるときなので, \(n\) 通り.4* \(X _ n = D\) のとき
1* のときと同様に考えて, \[ M _ 1 = \cdots = M _ n = D \ . \] であるときに限るので, \(1\) 通り.5* \(X _ n = F\) のとき
\(1 \leqq k \lt \ell \leqq n\) に対して \[\begin{align} M _ 1 & = \cdots = M _ {k-1} = D , \quad M _ k = C , \\ M _ {k+1} & = \cdots = M _ {\ell -1} = A , \quad M _ {\ell} = B , \\ M _ {\ell +1} & = \cdots = M _ {n} = D \ . \end{align}\] であるとき.
よって, \(C , B\) の選び方に着目して, \[ {} _ {n} \text{C} {} _ {2} = \dfrac{n(n-1)}{2} \ . \]
以上より, 求める場合の数は \[ 1+n+n+1+\dfrac{n(n-1)}{2} = \underline{\dfrac{n^2 +3n +4}{2}} \ . \]