\(2\) 次の正方行列 \(A _ 0 , A _ 1 , A _ 2 , A _ 3 , \cdots\) を \[ A _ 0 = O , \quad A _ n = B +A _ {n-1} C \quad ( n =1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. ただし, \(O\) は \(2\) 次の零行列, \(B\) と \(C\) は \(2\) 次の正方行列とする.
(1) \(A _ n ( E-C )\) を \(B\) と \(C\) を用いて表せ. ここで \(E\) は \(2\) 次の単位行列とする.
(2) \(B\) と \(C\) を \[ B = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) , \quad C = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{array} \right) \] とするとき, \(A _ {3n}\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
条件の式の両辺に, 右から \(C^{-n}\) を掛けると \[\begin{align} A _ n C^{-n} & = B C^{-n} +A _ {n-1} C^{-(n-1)} \\ \text{∴} \quad A _ n C^{-n} - A _ {n-1} C^{-(n-1)} & = B C^{-n} \end{align}\] したがって, \(n \geqq 1\) のとき \[\begin{align} A _ n C^{-n} & = A _ 0 + \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} B C^{-k} \\ & = B \left( C^{-1} +C^{-2} + \cdots + C^{-n} \right) \end{align}\] 両辺に右から \(C^n\) を掛けると \[ A _ n = B \left( C^{n-1} +C^{n-2} + \cdots + E \right) \] よって \[ A _ n ( E-C ) = \underline{B \left( E -C^n \right)} \] これは, \(n=0\) のときも満たしている.
(2)
\[\begin{align} C^2 & = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{array} \right) = -2\left( \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 1 & 1 \end{array} \right) , \\ C^3 & = -2 \left( \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{array} \right) = -8 E \end{align}\] したがって \[ C^{3n} = (-8)^n E \] また \[ (E-C)^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 0 & -3 \\ 1 & 0 \end{array} \right)^{-1} = \dfrac{1}{3} \left( \begin{array}{cc} 0 & 3 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \] よって, (1) の結果から \[\begin{align} A _ {3n} & = B \left( E -C^{3n} \right) (E-C)^{-1} \\ & = \dfrac{1 -(-8)^n}{3} \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 0 & 3 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \\ & = \underline{\dfrac{1 -(-8)^n}{3} \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \right)} \end{align}\]