点 O で交わる \(2\) つの半直線 OX , OY があって \(\angle \text{XOY} = 60^{\circ}\) とする. \(2\) 点 A , B が OX 上に, O , A , B の順に, また, \(2\) 点 C , D が OY 上に O , C , D の順に並んでいるとして, 線分 AC の中点を M , 線分 BD の中点を N とする. 線分 AB の長さを \(s\) , 線分 CD の長さを \(t\) とするとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　線分 MN の長さを \(s\) と \(t\) を用いて表せ.

2. (2)　点 A , B と C , D が, \(s^2+t^2=1\) を満たしながら動くとき, 線分 MN の長さの最大値を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\(\overrightarrow{\text{AB}} =s \overrightarrow{x}\) , \(\overrightarrow{\text{CD}} =t \overrightarrow{y}\) とおくと, \(\overrightarrow{x} , \overrightarrow{y}\) はそれぞれ, 半直線 OX , OY の単位ベクトルで \[\begin{align} \left| \overrightarrow{x} \right| & = \left| \overrightarrow{y} \right| = 1 , \\ \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y} & = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} \end{align}\] このとき \[\begin{align} \overrightarrow{\text{MN}} & = \overrightarrow{\text{ON}} -\overrightarrow{\text{OM}} \\ & = \dfrac{\overrightarrow{\text{OB}} +\overrightarrow{\text{OD}}}{2} -\dfrac{\overrightarrow{\text{OA}} +\overrightarrow{\text{OC}}}{2} \\ & = \dfrac{\overrightarrow{\text{AB}} +\overrightarrow{\text{CD}}}{2} \\ & = \dfrac{s \overrightarrow{x} +t \overrightarrow{y}}{2} \end{align}\] なので, \[\begin{align} \left| \overrightarrow{\text{MN}} \right|^2 & = \dfrac{s^2 \left| \overrightarrow{x} \right|^2 +2 st \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y} +t^2 \left| \overrightarrow{y} \right|^2}{4} \\ & = \dfrac{s^2 +st +t^2}{4} \end{align}\] よって, MN の長さは \[ \underline{\dfrac{\sqrt{s^2 +st +t^2}}{2}} \]

(2)

\(s =\sin \theta , \ t =\cos \theta \ \left( 0 \leqq \theta \lt 2\pi \right)\) とおくことができる.
このとき \[\begin{align} \text{MN} & = \dfrac{\sqrt{1 +\sin \theta \cos \theta}}{2} = \dfrac{\sqrt{4 +2\sin 2 \theta}}{4} \\ \text{∴} \quad & \dfrac{\sqrt{2}}{4} \leqq \text{MN} \leqq \dfrac{\sqrt{6}}{4} \end{align}\] MN が最大となるのは, \(\sin 2 \theta =1\) すなわち \(\theta =\dfrac{\pi}{4}\) のとき.
よって \[ \underline{s =t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}} \text{のとき, 最大値} \quad \underline{\dfrac{\sqrt{6}}{4}} \]