\(t\) を負の実数とし, \(xy\) 平面上で曲線 \(y = 2^{2x+2t}\) と曲線 \(y = 2^{x+3t}\) および \(y\) 軸で囲まれる部分を \(D\) とする.
(1) \(D\) を \(x\) 軸の周りに \(1\) 回転させてできる回転体の体積 \(V(t)\) を求めよ.
(2) \(t\) が負の実数の範囲を動くとき, \(V(t)\) の最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(2\) つの曲線の式より \[ 2^{2x+2t} -2^{x+3t} = 2^{x+2t} \left( 2^x -2^t \right) \] したがって, 領域 \(D\) の概形は下図斜線部のようになる.
ゆえに \[\begin{align} V(t) & = \pi \displaystyle\int _ t^0 \left( 2^{2 (2x+2t)} -2^{2 (x+3t)} \right) \, dx \\ & = \pi \displaystyle\int _ t^0 \left( 2^{4t} 2^{4x} -2^{6t} 2^{2x} \right) \, dx \\ & = 2^{4t} \pi \left[ \dfrac{2^{4x}}{4 \log 2} \right] _ t^0 -2^{6t} \pi \left[ \dfrac{2^{2x}}{2 \log 2} \right] _ t^0 \\ & = \dfrac{2^{4t} \pi}{4 \log 2} \left( 1 -2^{4t}\right) -\dfrac{2^{6t} \pi}{2 \log 2} \left( 1 -2^{2t}\right) \\ & = \underline{\dfrac{\pi}{4 \log 2} \left( 2^{8t} -2^{6t+1} +2^{4t} \right)} \end{align}\]
(2)
\(u = 2^{2t}\) とおけば, \(t \lt 0\) のとき, \(0 \lt u \lt 1 \quad ... [1]\) .
また
\[
2^{8t} -2^{6t+1} +2^{4t} = u^4 -2u^3 +u^2
\]
なので, これを \(f(u)\) とおいて, [1] における最大値を考える.
\[
f'(u) = 4u^3 -6u^2 +2u =2u (u-1) (2u-1)
\]
\(f'(u) = 0\) を解くと
\[
u =\dfrac{1}{2}
\]
したがって, \(f(u)\) の増減表は下のようになる.
\[
\begin{array}{c|ccccc} u & (0) & \cdots & \dfrac{1}{2} & \cdots & (1) \\ \hline f'(u) & & + & 0 & - & \\ \hline f(u) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}
\]
したがって, \(f(u)\) の最大値は
\[
f \left( \dfrac{1}{2} \right) =\dfrac{1}{16} -2 \cdot \dfrac{1}{8} +\dfrac{1}{4} =\dfrac{1}{16}
\]
よって, \(V(t)\) の最大値は
\[
\dfrac{\pi}{4 \log 2} \cdot \dfrac{1}{16} =\underline{\dfrac{\pi}{64 \log 2} }
\]