\(1\) 枚の硬貨を繰り返し投げる反復試行を行い, 表が \(500\) 回続けて出たときに終わるものとする. \(n\) を \(500\) 以上の自然数とするとき, この反復試行が \(n\) 回目で終わる確率を \(p(n)\) とする.
(1) \(501 \leqq n \leqq 1000\) のとき, \(p(n)\) は \(n\) に関係なく一定の値になることを示し, またその値を求めよ.
(2) \(p(1002) -p(1001)\) の値を求めよ.
(3) \(1002 \leqq n \leqq 1500\) のとき, \(p(n+1) -p(n)\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(n\) 回目で試行が終わるのは, 以下の \(3\) つの条件を満たすときである.
(A) \(1\) 回目から \(n-501\) 回目までに, 表が連続して \(500\) 回出ていない.
(B) \(n-500\) 回目に裏が出る.
(C) \(n-499\) 回目から \(n\) 回目まですべて表が出る.
\(501 \leqq n \leqq 1000\) のとき, \(1\) 回目から \(501-n\) 回目までに \(500\) 回の試行が行われないので, 条件 (A) は必ず満たされる.
よって, 条件 (B) と (C) をみたせばよく, \(p(n)\) は一定の値になる.
その値は
\[
p(n) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{500} = \underline{\dfrac{1}{2^{501}}}
\]
(2)
\(n=500\) のときは, 条件 (C) のみをみたせばよいので \[ p(500) = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{500} = \dfrac{1}{2^{500}} \] \(n=1001\) のとき, \(1\) 回目から \(500\) 回目までに試行が終わる確率は \(p(500)\) なので \[\begin{align} p(1001) & = \left( 1 -p(500) \right) \cdot \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{500} \\ & = \dfrac{1}{2^{501}} \left( 1 -\dfrac{1}{2^{500}} \right) \end{align}\] \(n=1002\) のとき, \(1\) 回目から \(501\) 回目までに試行が終わる確率は, \(p(500) +p(501)\) なので \[\begin{align} p(1002) & = \left( 1 -p(500) -p(501) \right) \cdot \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{500} \\ & = \dfrac{1}{2^{501}} \left( 1 -\dfrac{1}{2^{500}} -\dfrac{1}{2^{501}}\right) \end{align}\] よって \[\begin{align} p(1001) -p(1002) & = \dfrac{1}{2^{501}} \cdot \dfrac{1}{2^{501}} \\ & = \underline{\dfrac{1}{2^{1002}}} \end{align}\]
(3)
\(1002 \leqq n \leqq 1501\) のとき, (2) と同様に考えることができ \[\begin{align} p(n) & = \left( 1 -\textstyle\sum\limits _ {k=500}^{n-501} p(k) \right) \cdot \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{500} \\ & = \dfrac{1}{2^{501}} \left( 1 -\dfrac{1}{2^{500}} -\dfrac{n-1001}{2^{501}} \right) \end{align}\] したがって \[\begin{align} p(n+1) -p(n) & = \dfrac{1}{2^{501}} \cdot \dfrac{1}{2^{501}} \\ & = \underline{\dfrac{1}{2^{1002}}} \end{align}\]