放物線 \(C : \ y=x^2\) 上の点 \(\text{A} _ 1 \left( a _ 1 , {a _ 1}^2 \right)\) , \(\text{A} _ 2 \left( a _ 2 , {a _ 2}^2 \right)\) , \(\text{A} _ 3 \left( a _ 3 , {a _ 3}^2 \right)\) , ... を, \(\text{A} _ {k+2}\) （ \(k \geqq 1\) ）における \(C\) の接線が直線 \(\text{A} _ k \text{A} _ {k+1}\) に平行であるようにとる. ただし, \(a _ 1 \lt a _ 2\) とする. 三角形 \(\text{A} _ k \text{A} _ {k+1} \text{A} _ {k+2}\) の面積を \(T _ k\) とし, 直線 \(\text{A} _ 1 \text{A} _ 2\) と \(C\) で囲まれた部分の面積を \(S\) とする. このとき次の問いに答えよ.
(1) \(\dfrac{T _ {k+1}}{T _ k}\) を求めよ.
(2) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} T _ k\) を \(S\) を用いて表せ.
【 解 答 】
(1)
\(\text{A} _ {n}\text{A} _ {n+1}\) の方程式は
\[\begin{align}
y & = \dfrac{{a _ {n}}^2-{a _ {n+1}}^2}{a _ {n}-a _ {n+1}} ( x-a _ {n} ) +{a _ {n}}^2 \\
& = (a _ {n}+a _ {n+1}) x -a _ {n}a _ {n+1}
\end{align}\]
\(C : \ y=x^2\) より, \(y'=2x\) なので, 点 \(\text{A} _ {n+2}\) での接線の傾きは \(2a _ {n+2}\) .
したがって
\[\begin{align}
a _ {n}a _ {n+1} & = 2a _ {n+2} \\
\text{∴} \quad a _ {n+2} & = \dfrac{a _ {n}+a _ {n+1}}{2} \quad ... [1]
\end{align}\]
\(\text{A} _ {n}\text{A} _ {n+1}\) の中点 \(\text{M} _ n\) の座標は
\[
\left( \dfrac{a _ {n}+b}{2} , \dfrac{{a _ {n}}^2+{a _ {n+1}}^2}{2} \right)
\]
なので, [1] を用いて
\[\begin{align}
T _ k & = \dfrac{1}{2} \left\{ \dfrac{{a _ {n}}^2+{a _ {n+1}}^2}{2} +\left( \dfrac{a _ {n}+a _ {n+1}}{2} \right)^2 \right\} \left| a _ {n}-a _ {n+1} \right| \\
& = \dfrac{1}{8} \left| a _ {n}-a _ {n+1} \right|^3 \quad ... [2]
\end{align}\]
したがって
\[\begin{align}
\dfrac{T _ {k+1}}{T _ {k}} & = \dfrac{\left| a _ {n+1}-a _ {n+2} \right|^3}{\left| a _ {n}-a _ {n+1} \right|^3} \\
& = \dfrac{\left| a _ {n+1}-\frac{a _ {n}+a _ {n+1}}{2} \right|^3}{\left| a _ {n}-a _ {n+1} \right|^3} \\
& = \dfrac{\left| \frac{a _ {n+1}-a _ {n}}{2} \right|^3}{\left| a _ {n}-a _ {n+1} \right|^3} = \underline{\dfrac{1}{8}}
\end{align}\]
(2)
(1) の結果と [2] より \[ T _ k = \left( \dfrac{1}{8} \right)^k T _ 1 \] また \[\begin{align} S =\dfrac{1}{6} \left| a _ 1-a _ 2 \right|^3 & = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{8} \left| a _ 1-a _ 2 \right|^3 = \dfrac{4}{3} T _ 1 \\ \text{∴} \quad T _ 1 & = \dfrac{3S}{4} \end{align}\] なので \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} T _ k & = \dfrac{3S}{4} \cdot \dfrac{1}{1 -\frac{1}{8}} \\ & = \underline{\dfrac{6S}{7}} \end{align}\]