\(\alpha\) を \(2\) 次方程式 \(x^2-2x-1 = 0\) の解とするとき, \(( a+5 \alpha )( b+5c \alpha )=1\) をみたす整数の組 \((a, b, c)\) をすべて求めよ. ただし, 必要ならば \(\sqrt{2}\) が無理数であることは証明せずに用いてよい.
【 解 答 】
条件より
\[
\alpha = 1 \pm\sqrt{2} , \quad \alpha^2 =2\alpha +1
\]
与式より
\[\begin{align}
ab+5( ac+b ) \alpha +25c \alpha^2 & =1 \\
ab+5( ac+b ) \alpha +25c ( 2 \alpha +1 ) -1 & =0 \\
\text{∴} \quad \underline{ab+25c-1} _ {\text{[A]}} +5 \alpha \underline{(ac+b+10c)} _ {\text{[B]}} & = 0
\end{align}\]
したがって
\[\begin{align}
\text{[A]} +5 \left( 1 \pm\sqrt{2} \right) \text{[B]} & = 0 \\
\text{∴} \quad \left( \text{[A]} +5 \text{[B]} \right) \pm 5 \sqrt{2} \text{[B]} & = 0
\end{align}\]
これが成立するのは, \(a , b , c\) は整数で, \(\sqrt{2}\) は無理数なので
\[
\left\{ \begin{array}{l} \text{[A]} +5 \text{[B]} =0 \\ \text{[B]} =0 \end{array} \right.
\]
すなわち, \(\text{[A]} =\text{[B]} =0\) のときである.
つまり
\[
\left\{ \begin{array}{ll} ab+25c-1 =0 & \ \text{...[1]} \\ ac+b+10c =0 & \ \text{...[2]} \end{array} \right.
\]
[2] より
\[
b=-(a+10)c
\]
[1] に代入して
\[\begin{align}
-ac(a+10) +25c-1 & =0 \\
\text{∴} \quad c \left( a^2+10a-25 \right) & = -1
\end{align}\]
\(c , a^2+10a-25\) はともに整数なので
1* \(c =-1\) , \(a^2+10a-25 =1\) のとき \[\begin{align} a^2+10a-26 & =0 \\ \text{∴} \quad a =-5 \pm \sqrt{25+26} & = -5 \pm\sqrt{51} \end{align}\] これは整数でないので, 不適.
2* \(c =1\) , \(a^2+10a-25 =-1\) のとき \[\begin{align} a^2+10a-24 & = 0 \\ (a-2)(a+12) & =0 \\ \text{∴} \quad a & =2 , -12 \end{align}\]
- \(a=2\) のとき, \(b= -(2+10) = -12\) .
- \(a=-12\) のとき, \(b= -(-12+10) = 2\) .
以上より, 求める整数の組は \[ ( a , b , c ) = \underline{( 2 , -12 , 1 ) , ( -12 , 2 , 1 )} \]