平面上の三角形 OAB を考え, 辺 AB の中点を M とする. \[ \overrightarrow{a} = \dfrac{\overrightarrow{\text{OA}}}{\left| \overrightarrow{\text{OA}} \right|} , \quad \overrightarrow{b} = \dfrac{\overrightarrow{\text{OB}}}{\left| \overrightarrow{\text{OB}} \right|} \] とおき, 点 P を \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{\text{OP}} = -\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{\text{OP}} \gt 0\) であるようにとる. 直線 OP に A から下ろした垂線と直線 OP の交点を Q とする.
(1) \(\overrightarrow{\text{MQ}}\) と \(\overrightarrow{b}\) は平行であることを示せ.
(2) \(\left| \overrightarrow{\text{MQ}} \right| =\dfrac{1}{2} \left( \left| \overrightarrow{\text{OA}} \right| + \left| \overrightarrow{\text{OB}} \right| \right)\) であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
条件より
\[
\left| \overrightarrow{a} \right| = \left| \overrightarrow{b} \right| = 1 \quad ... [1]
\]
\(\text{OA} = \alpha\) , \(\text{OB} =\beta\) とおけば
\[
\overrightarrow{\text{OA}} = \alpha \overrightarrow{a} , \quad \overrightarrow{\text{OB}} =\beta \overrightarrow{b}
\]
\(\overrightarrow{\text{OP}} =\overrightarrow{p}\) , \(\overrightarrow{\text{OQ}} =\overrightarrow{q}\) とおく.
条件より
\[\begin{align}
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{p} & = -\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{p} \\
\left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right) \cdot \overrightarrow{p} & = 0
\end{align}\]
[1] かつ「 \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) は平行でない」 ... [2] なので, \(\overrightarrow{p}\) は \(\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b}\) と平行で
\[
\overrightarrow{p} = t \left( \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} \right) \quad ( t \neq 0 )
\]
とおける.
Q は OP 上にあるので, 同じように
\[
\overrightarrow{q} = t \left( \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} \right)
\]
と表せる.
\(\text{AQ} \perp \text{OQ}\) なので
\[\begin{align}
\overrightarrow{\text{AQ}} \cdot \overrightarrow{\text{OQ}} & =0 \\
\left\{ (t -\alpha) \overrightarrow{a} -t \overrightarrow{b} \right\} \cdot t \left( \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} \right) & = 0 \\
\text{∴} \quad ( t-\alpha ) \left| \overrightarrow{a} \right|^2 -\left( 2t -\alpha \right) \overrightarrow{a} \cdot
\overrightarrow{b} +t \left| \overrightarrow{b} \right|^2 & =0 \\
( 2t -\alpha ) \left( 1 -\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \right) & = 0 \\
\text{∴} \quad t = \dfrac{\alpha}{2} \quad & \left( \ \text{∵} \ [1] [2] \text{より, } \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \neq 1 \ \right)
\end{align}\]
したがって
\[
\overrightarrow{q} = \dfrac{\alpha \overrightarrow{a} -\alpha \overrightarrow{b}}{2}
\]
ゆえに
\[\begin{align}
\overrightarrow{\text{MQ}} & = \overrightarrow{\text{OQ}} -\overrightarrow{\text{OM}} \\
& = \dfrac{\alpha \overrightarrow{a} -\alpha \overrightarrow{b}}{2} -\dfrac{\alpha \overrightarrow{a} -\beta \overrightarrow{b}}{2} \\
& = -\dfrac{( \alpha +\beta ) \overrightarrow{b}}{2} \quad ... [3]
\end{align}\]
よって
\[
\underline{\overrightarrow{\text{MQ}} / \! / \overrightarrow{b}}
\]