\(n=1, 2, 3, \cdots\) に対して, \(y=\log (nx)\) と \(\left( x-\dfrac{1}{n} \right)^2+y^2=1\) の交点のうち第 \(1\) 象限にある点を \(( p _ n , q _ n )\) とする.
(1) 不等式 \(1-{q _ n}^2 \leqq \dfrac{(e-1)^2}{n^2}\) を示すことにより, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} q _ n =1\) を証明せよ. ただし, \(e\) は自然対数の底である.
(2) \(S _ n = \displaystyle\int _ {\frac{1}{n}}^{p _ n} \log (nx) \, dx\) を \(p _ n\) で表せ.
(3) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n S _ n\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(C : \ y=\log (nx)\) , \(D : \ \left( x-\dfrac{1}{n} \right)^2+y^2=1\) とおく.
\(C\) の式より
\[\begin{align}
e^y & = nx \\
\text{∴} \quad x & = \dfrac{e^y}{n}
\end{align}\]
これを \(D\) の式に代入して
\[\begin{align}
\left( \dfrac{e^y-1}{n} \right)^2 +y^2 & = 1 \\
\text{∴} \quad 1-y^2 & = \dfrac{\left( e^y-1 \right)^2}{n^2}
\end{align}\]
この方程式の解は \(y=q _ n\) であり, また \(D\) の式より \(q _ n \leqq 1\) なので
\[\begin{align}
1 -{q _ n}^2 & = \dfrac{\left( e^{q _ n}-1 \right)^2}{n^2} \leqq \dfrac{\left( e-1 \right)^2}{n^2} \\
\text{∴} \quad & \underline{1-{q _ n}^2 \leqq \dfrac{\left( e-1 \right)^2}{n^2}}
\end{align}\]
\(1 -{q _ n}^2 \geqq 0\) であり
\[
\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{(e-1)^2}{n^2} = 0
\]
なので, はさみうちの原理より
\[
\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( 1-{q _ n}^2 \right) =0
\]
\(q _ n \gt 0\) なので
\[\begin{align}
\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( 1-q _ n \right) & = 0 \\
\text{∴} \quad \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} q _ n & = \underline{1}
\end{align}\]
(2)
\[\begin{align} S _ n & = \displaystyle\int _ {\frac{1}{n}}^{p _ n} \log (nx) \, dx \\ & = \big[ x \log (nx) \big] _ {\frac{1}{n}}^{p _ n} -\displaystyle\int _ {\frac{1}{n}}^{p _ n} x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ & = p _ n \log \left( n p _ n \right) -\big[ x \big] _ {\frac{1}{n}}^{p _ n} \\ & = \underline{p _ n \left\{ \log \left( n p _ n \right) -1 \right\} +\dfrac{1}{n}} \end{align}\]
(3)
\(C\) の式より \[\begin{align} q _ n & = \log \left( n p _ n \right) \\ \text{∴} \quad n p _ n & = e^{q _ n} \end{align}\] (1) の結果より, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} q _ n = 1\) なので \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n p _ n = e \] これを用いれば \[\begin{align} n S _ n & = n p _ n \left\{ \log \left( n p _ n \right) -1 \right\} +1 \\ & \rightarrow e \left( \log e -1 \right) +1 \quad ( \ \text{∵} \ n \rightarrow \infty \text{のとき} ) \\ & = 1 \end{align}\] よって \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n S _ n = \underline{1} \]