\(\ell , m , n\) を \(3\) 以上の整数とする. 等式 \[ \left( \dfrac{n}{m} -\dfrac{n}{2} +1 \right) \ell = 2 \] を満たす \(\ell , m , n\) の組をすべて求めよ.
【 解 答 】
\[\begin{align}
\left( \dfrac{n}{m} -\dfrac{n}{2} +1 \right) \ell & = 2 \\
( 2n -mn +2m ) \ell & = 4m \\
\left\{ \underline{4 -(m-2)(n-2)} \right\} \ell & = 4m \quad ... [1]
\end{align}\]
\(\ell \gt 0\) , \(m \gt 0\) なので, [1] の下線部は正となる.
\(m-2 \geqq 1\) , \(n-2 \geqq 1\) なので, これをみたす \(( m , n )\) の組は
\[
( m , n ) = ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 3 )
\]
1* \(( m , n ) = ( 3, 3 )\) のとき, [1] に代入して, \[\begin{align} ( 4 -1 \cdot 1 ) \ell = 4 \cdot 3 \\ 3 \ell & = 12 \\ \text{∴} \quad \ell & = 4 \end{align}\]
2* \(( m , n ) = ( 3, 4 )\) のとき, [1] に代入して, \[\begin{align} ( 4 -1 \cdot 2 ) \ell & = 4 \cdot 3 \\ 2 \ell & = 12 \\ \text{∴} \quad \ell & = 6 \end{align}\]
3* \(( m , n ) = ( 3, 5 )\) のとき, [1] に代入して, \[\begin{align} ( 4 -1 \cdot 3 ) \ell & = 4 \cdot 3 \\ \text{∴} \quad \ell & = 12 \end{align}\]
4* \(( m , n ) = ( 4, 3 )\) のとき, [1] に代入して, \[\begin{align} ( 4 -2 \cdot 1 ) \ell & = 4 \cdot 4 \\ 2 \ell & = 16 \\ \text{∴} \quad \ell & = 8 \end{align}\]
5* \(( m , n ) = ( 5, 3 )\) のとき, [1] に代入して, \[\begin{align} ( 4 -3 \cdot 1 ) \ell & = 4 \cdot 5 \\ \text{∴} \quad \ell & = 20 \end{align}\]
1*～5* より, 求める解は \[ ( \ell, m , n ) = \underline{( 4, 3 , 3 ) , ( 6, 3 , 4 ) , ( 8, 4 , 3 ) , ( 12, 3 , 5 ) , ( 20, 5 , 3 )} \]