\(n\) を \(0\) 以上の整数とする. 立方体 ABCD-EFGH の頂点を, 以下のように移動する \(2\) つの動点 P , Q を考える. 時刻 \(0\) には P は頂点 A に位置し, Q は頂点 C に位置している. 時刻 \(n\) において, P と Q が異なる頂点に位置していれば, 時刻 \(n+1\) には, P は時刻 \(n\) に位置していた頂点から, それに隣接する \(3\) 頂点のいずれかに等しい確率で移り, Q も時刻 \(n\) に位置していた頂点から, それに隣接する \(3\) 頂点のいずれかに等しい確率で移る. 一方, 時刻 \(n\) において, P と Q が同じ頂点に位置していれば, 時刻 \(n+1\) には P も Q も時刻 \(n\) の位置からは移動しない.
(1) 時刻 \(1\) において, P と Q が異なる頂点に位置するとき, P と Q はどの頂点にあるか, 可能な組み合わせをすべて挙げよ.
(2) 時刻 \(n\) において, P と Q が異なる頂点に位置する確率 \(r _ n\) を求めよ.
(3) 時刻 \(n\) において, P と Q がともに上面 ABCD の異なる頂点に位置するか, またはともに下面 EFGH の異なる頂点に位置するかのいずれかである確率を \(p _ n\) とする. また, 時刻 \(n\) において, P と Q のいずれか一方が上面 ABCD , 他方が下面 EFGH にある確率を \(q _ n\) とする. \(p _ {n+1}\) を, \(p _ n\) と \(q _ n\) を用いて表せ.
(4) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{q _ n}{p _ n}\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
時刻 \(1\) において, P は B , D , E のいずれか, Q は B , D , G のいずれかに位置するので, 求める組合せは, \[ ( \text{P} , \text{Q} ) = \underline{( \text{B} , \text{D} ), ( \text{B} , \text{G} ), ( \text{D} , \text{B} ), ( \text{D} , \text{G} ), ( \text{E} , \text{B} ), ( \text{E} , \text{D} ), ( \text{E} , \text{G} )} \]
(2)
(1) の結果より \[ r _ 1 = \dfrac{7}{9} \] さらに, P , Q が異なる \(2\) 点にあるときには立方体のある面の対角線上に位置するので \[\begin{align} r _ {n+1} & = \dfrac{7}{9} r _ n \\ \text{∴} \quad r _ n & = \underline{\left( \dfrac{7}{9} \right)^n} \end{align}\]
(3)
P , Q がともに上面, 下面いずれかに集まっている状態を \(T\) , 分かれている状態を \(S\) とする.
時刻 \(n \rightarrow n+1\) の移動で, 状態が \(S \rightarrow S\) となる確率は, (1) の結果より \[ \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \]
時刻 \(n \rightarrow n+1\) の移動で, 状態が \(T \rightarrow S\) となる確率について考える.
時刻 \(n\) において, 仮に P が A , Q が F に位置するとき, 時刻 \(n+1\) において, P は B , D , E のいずれか, Q は E , G , B のいずれかに移動する.
したがって, 状態 \(S\) である組合せは \[ ( \text{P} , \text{Q} ) = ( \text{D} , \text{B} ), ( \text{E} , \text{G} ) \] なので \[ \dfrac{2}{9} \]
以上より \[ p _ {n+1} = \underline{\dfrac{1}{3} p _ n + \dfrac{2}{9} q _ n} \]
(4)
\[ p _ n + q _ n = r _ n =\left( \dfrac{7}{9} \right)^n \] なので \[\begin{align} p _ {n+1} & = \dfrac{1}{3} p _ n + \dfrac{2}{9} \left\{ \left( \dfrac{7}{9} \right)^n -p _ n \right\} \\ & = \dfrac{1}{9} p _ n +\dfrac{2}{9} \left( \dfrac{7}{9} \right)^n \\ \text{∴} \quad & 9^{n+1}p _ {n+1} = 9^n p _ n +2 \cdot 7^n \end{align}\] \(p _ 0 = 1\) なので \[\begin{align} 9^n p _ n & = 9^0 p _ 0 + \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{n-1} 2 \cdot 7^k \\ & = 1 +2 \cdot \dfrac{7^n -1}{7-1} = \dfrac{7^n +2}{3} \\ \text{∴} \quad p _ n & = \dfrac{7^n +2}{3 \cdot 9^n} = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{7}{9} \right)^n +\dfrac{2}{3} \left( \dfrac{1}{9} \right)^n \end{align}\] したがって \[ q _ n = \left( \dfrac{7}{9} \right)^n -p _ n = \dfrac{2}{3} \left( \dfrac{7}{9} \right)^n -\dfrac{2}{3} \left( \dfrac{1}{9} \right)^n \] よって \[\begin{align} \dfrac{q _ n}{p _ n} & = \dfrac{2 \cdot 7^n -2}{7^n +2} = \dfrac{2 -2\left( \dfrac{1}{7} \right)^n}{1 +2\left( \dfrac{1}{7} \right)^n} \\ & \rightarrow \dfrac{2 -2 \cdot 0}{1 -2 \cdot 0} = \underline{2} \quad ( n \rightarrow \infty \text{のとき} ) \end{align}\]