\(a\) を自然数とする. O を原点とする座標平面上で行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & -1 \\ 1 & a \end{array} \right)\) の表す \(1\) 次変換を \(f\) とする.
(1) \(r \gt 0\) および \(0 \leqq \theta \lt 2 \pi\) を用いて \(A = \left( \begin{array}{cc} r \cos \theta & -r \sin \theta \\ r \sin \theta & r \cos \theta \end{array} \right)\) を表すとき, \(r\) , \(\cos \theta\) , \(\sin \theta\) を \(a\) で表せ.
(2) 点 Q \(( 1 , 0 )\) に対して, 点 \(\text{Q} _ n \ ( n = 1, 2, \cdots )\) を \(\text{Q} _ 1 = \text{Q}\) , \(\text{Q} _ {n+1} = f( \text{Q} _ n )\) で定める. △\(\text{OQ} _ n\text{Q} _ {n+1}\) の面積 \(S(n)\) を \(a\) と \(n\) を用いて表せ.
(3) \(f\) によって点 \(( 2 , 7 )\) に移されるもとの点 P の \(x\) 座標の小数第一位を四捨五入して得られる近似値が \(2\) であるという. 自然数 \(a\) の値を求めよ. またこのとき \(S(n) \gt 10^{10}\) となる最小の \(n\) の値を求めよ. ただし \(0.3 \lt \log _ {10} 2 \lt 0.31\) を用いてよい.
【 解 答 】
(1)
\[ A = \sqrt{a^2+1} \left( \begin{array}{cc} \dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}} & -\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}} & \dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}} \end{array} \right) \] なので \[ r= \underline{\sqrt{a^2+1}} , \ \cos \theta =\underline{\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}} , \ \sin \theta =\underline{\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}} \]
(2)
(1) の結果から, 点 P に対して, 点 \(\text{P}' =f(\text{P})\) は
\[
\overrightarrow{\text{OP}'} = r \overrightarrow{\text{OP}} , \ \angle \text{POP}'= \theta
\]
を満たす.
\(\text{OQ} _ 1=1\) なので
\[\begin{align}
\text{OQ} _ n & = r^{n-1} , \ \text{OQ} _ {n+1} = r^n , \ \angle \text{Q} _ n\text{OQ} _ {n+1} = \theta \\
\text{∴} \quad S(n) & =\dfrac{1}{2} r^{2n-1} \sin \theta =\dfrac{1}{2} \left( \sqrt{a^2+1} \right)^{2n-1} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}} \\
& = \underline{\dfrac{1}{2}(a^2+1)^{n-1}}\
\end{align}\]
(3)
条件より \[\begin{align} \left( \begin{array}{cc} a & -1 \\ 1 & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 7 \end{array} \right) \\ \text{∴} \quad \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) & = \dfrac{1}{a^2+1}\left( \begin{array}{cc} a & -1 \\ 1 & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\ 7 \end{array} \right) \\ & = \dfrac{1}{a^2+1} \left( \begin{array}{c} 2a+7 \\ 7a-2 \end{array} \right) \end{align}\] この点の \(x\) 座標を四捨五入すると \(2\) となるので \[\begin{align} \dfrac{3}{2} & \leqq \dfrac{2a+7}{a^2+1} \lt \dfrac{5}{2} \\ 3a^2+3 & \leqq 4a+14 \lt 5a^2+5 \\ 3a^2-4a-11 & \leqq 0 \ \text{かつ} \ (5a-9)(a+1) \gt 0 \\ \dfrac{2-\sqrt{37}}{3} \leqq a & \leqq \dfrac{2+\sqrt{37}}{3} \ \text{かつ} \ a \lt -1 , \dfrac{9}{5} \lt a \end{align}\] \(a\) は整数であり, \(6 \lt \sqrt{37} \lt 7\) なので, \[\begin{align} -1 \leqq a \leqq 2 \ & \text{かつ} \ a \leqq -2 , 2 \leqq a \\ \text{∴} \quad a & = \underline{2} \end{align}\] このとき, (2) の結果より \[ S(n) = \dfrac{1}{2} \cdot 5^{n-1} = \dfrac{10^{n-1}}{2^n} \gt 10^{10} \] 両辺について常用対数をとると \[\begin{align} n-1-n \log _ {10} 2 & \gt 10 \\ \text{∴} \quad n & \gt \dfrac{11}{1 -\log _ {10} 2} \end{align}\] ここで, \(0.3 \lt \log _ {10} 2 \lt 0.31\) であり, \(\dfrac{11}{1-0.31} =15.9 \cdots\) なので \[ n \geqq 16 \] ゆえに, 最小の \(n\) は \[ n= \underline{16} \]