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正数 \(r\) に対して, \(a _ 1 = 0\) , \(a _ 2 = r\) とおき, 数列 \(\{ a _ n \}\) を次の漸化式で定める. \[ a _ {n+1} = a _ n +r _ n ( a _ n -a _ {n-1} ) \quad ( n = 2, 3, 4, \cdots ) \] ただし \(a _ n\) と \(a _ {n-1}\) から漸化式を用いて \(a _ {n+1}\) を決める際には硬貨を投げ, 表がでたとき \(r _ n = \dfrac{r}{2}\) , 裏がでたとき \(r _ n = \dfrac{1}{2r}\) とする. ここで表がでる確率と裏がでる確率は等しいとする. \(a _ n\) の期待値を \(p _ n\) とするとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(p _ 3\) および \(p _ 4\) を, \(r\) を用いて表せ.

2. (2)　\(n \geqq 3\) のときに \(p _ n\) を, \(n\) と \(r\) を用いて表せ.

3. (3)　数列 \(\{ p _ n \}\) が収束するような正数 \(r\) の範囲を求めよ.

4. (4)　\(r\) が (3) で求めた範囲を動くとき, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} p _ n\) の最小値を求めよ.

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【 解 答 】

(1)

\(b _ n = a _ {n+1} -a _ n \ ( n= 2, 3, \cdots )\) とおくと \[ b _ n = r _ n b _ {n-1} , \ b _ 1 = a _ 2 -a _ 1 = r \] これを繰返し用いれば, \(n \geqq 2\) のとき \[ b _ n = r _ n \cdot r _ {n-1} \cdots r _ 2 \cdot r \] ここで, \(r _ 2, \cdots , r _ {n-1}\) の値の組合せは, \(2^{n-1}\) 通りあり同様に確からしい.
それぞれの場合における \(b _ n\) の値を \(c _ i \ ( i = 1 , \cdots , 2^{n-1} )\) とおけば, \(b _ n\) の期待値（すなわち \(p _ {n+1}-p _ n\) ）を \(q _ n\) とおけば, 二項定理を用いて \[\begin{align} q _ n & = p _ {n+1}-p _ n = \textstyle\sum\limits _ {i=1}^{2^{n-1}} \dfrac{c _ i}{2^{n-1}} \\ & = \dfrac{r}{2^{n-1}} \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{n-1} {} _ {n-1} \text{C} {} _ k \left( \dfrac{r}{2} \right)^k \left( \dfrac{1}{2r} \right)^{n-1-k} \\ & = \dfrac{r}{2^{n-1}} \left( \dfrac{r}{2} +\dfrac{1}{2r} \right)^{n-1} \\ & = r \left( \dfrac{r}{4}+\dfrac{1}{4r} \right)^{n-1} \quad ... [1] \end{align}\] [1] を用いれば, \[\begin{align} p _ 3 & = p _ 2 +q _ 2 = a _ 2 +r \left( \dfrac{r}{4}+\dfrac{1}{4r} \right) \\ & = \underline{\dfrac{r^2}{4} +r +\dfrac{1}{4}} , \\ p _ 4 & = p _ 3 +q _ 3 = \dfrac{r^2}{4} +r +\dfrac{1}{4} +r \left( \dfrac{r}{4}+\dfrac{1}{4r} \right)^2 \\ & = \dfrac{r^2}{4} +r +\dfrac{1}{4} +r \left( \dfrac{r^2}{16} +\dfrac{1}{8} +\dfrac{1}{16r^2} \right) \\ & = \underline{\dfrac{r^3}{16} +\dfrac{r^2}{4} +\dfrac{9r}{8} +\dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{16r}} \end{align}\]

(2)

[1] より, \(n \geqq 3\) について \[\begin{align} p _ n & = p _ 2 +\textstyle\sum\limits _ {k=2}^{n-1} q _ k \\ & = r \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} \left( \dfrac{r}{4}+\dfrac{1}{4r} \right)^{k-1} \quad ... [2] \end{align}\] 数列 \(\{ q _ n \}\) の公比について \[\begin{align} \dfrac{r}{4} +\dfrac{1}{4r} & = 1 \\ r^2 -4r +1 & = 0 \\ \text{∴} \quad r & = 2 \pm \sqrt{3} \end{align}\] なので, 場合分けして考える.

1. 1*　\(r \neq 2 \pm \sqrt{3}\) のとき, [2]より \[ p _ n = r \cdot \dfrac{1-\left( \dfrac{r}{4}+\dfrac{1}{4r} \right)^{n-1}}{1-\left( \dfrac{r}{4}+\dfrac{1}{4r} \right)} \]

2. 2*　\(r = 2 \pm \sqrt{3}\) のとき, [2]より \[ p _ n = r(n-1) \]

1* 2*より \[ p _ n = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} r \cdot \dfrac{1-\left( \dfrac{r}{4}+\dfrac{1}{4r} \right)^{n-1}}{1-\left( \dfrac{r}{4}+\dfrac{1}{4r} \right)} & ( r \neq 2 \pm \sqrt{3} \text{のとき} ) \\ r(n-1) & ( r = 2 \pm \sqrt{3} \text{のとき} ) \end{array} \right.} \]

(3)

\(p _ n\) が収束する条件は, \(r \gt 0\) なので \[\begin{gather} \dfrac{r}{4} +\dfrac{1}{4r} \lt 1 \\ \text{∴} \quad \underline{2-\sqrt{3} \lt r \lt 2+\sqrt{3}} \end{gather}\]

(4)

(3) の場合には, \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} p _ n & = \dfrac{r}{1-\left( \dfrac{r}{4}+\dfrac{1}{4r} \right)} \\ & = \dfrac{4}{-\dfrac{1}{r^2}+\dfrac{4}{r}-1} \\ & = \dfrac{4}{-\left( \dfrac{1}{r}-2 \right)^2 +3} \leqq \dfrac{4}{3} \end{align}\] 等号成立は \(\dfrac{1}{r} =2\) すなわち \(r=\dfrac{1}{2}\) のとき.
ゆえに, 求める最小値は \[ \underline{\dfrac{4}{3}} \]