\(xyz\) 空間に \(3\) 点 O \((0,0,0)\) , A \((1,0,1)\) , B \((0,\sqrt{3},1)\) がある. 平面 \(z=0\) に含まれ, 中心が O , 半径が \(1\) の円を \(W\) とする. 点 P が線分 OA 上を, 点 Q が円 \(W\) の周および内部を動くとき, \(\overrightarrow{\text{OR}} =\overrightarrow{\text{OP}} +\overrightarrow{\text{OQ}}\) をみたす点R全体がつくる立体を \(V _ A\) とおく. 同様に点 P が線分 OB 上を, 点 Q が円 \(W\) の周および内部を動くとき, \(\overrightarrow{\text{OR}} =\overrightarrow{\text{OP}} +\overrightarrow{\text{OQ}}\) をみたす点 R 全体がつくる立体を \(V _ B\) とおく. さらに \(V _ A\) と \(V _ B\) の重なり合う部分を \(V\) とする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 平面 \(z =\cos \theta \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)\) による立体 \(V\) の切り口の面積を \(\theta\) を用いて表せ.
(2) 立体 \(V\) の体積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
P が OA 上を動き, \(z =\cos \theta\) のときの点を \(\text{P} _ A\) とおくと
\[
\overrightarrow{\text{OP} _ A} =\left( \begin{array}{c} \cos \theta \\ 0 \\ \cos \theta \end{array} \right)
\]
P が OB 上を動き, \(z =\cos \theta\) のときの点を \(\text{P} _ B\) とおくと
\[
\overrightarrow{\text{OP} _ B} =\left( \begin{array}{c} 0 \\ \sqrt{3} \cos \theta \\ \cos \theta \end{array} \right)
\]
\(\overrightarrow{\text{OQ}}\) がつくる領域は \(W\) と同じ形, つまり \(z\) 軸に垂直な半径 \(1\) の円である.
したがって, \(z =\cos \theta\) による \(V _ A , V _ B\) の切り口は, \(\text{P} _ A\) , \(\text{P} _ B\) を中心とする半径 \(1\) の円となる.
\(\text{P} _ A \text{P} _ B = 2\cos \theta \leqq 2\) なので, \(2\) つの円は必ず交わり, \(V\) の切り口は下図の斜線部（境界を含む）のようになる.
\(2\) 円の交点の一方をTとおくと, \(\angle \text{TP} _ A\text{P} _ B =\theta\) なので, 求める面積を \(S\) とおくと \[\begin{align} S & =2 \left( \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot 2 \theta -\dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \sin 2 \theta \right) \\ & =\underline{2 \theta -\sin 2 \theta} \end{align}\]
(2)
\(z = \cos \theta\) より \[\begin{gather} \dfrac{dz}{d \theta} = -\sin \theta , \\ \begin{array}{c|ccc} z & 0 & \rightarrow & 1 \\ \hline \theta & \dfrac{\pi}{2} & \rightarrow & 0 \end{array} \end{gather}\] よって \[\begin{align} V & = \displaystyle\int _ 0^1 S \, dz \\ & = \displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{2}} ( 2 \theta -\sin 2 \theta ) \sin \theta \, d \theta \\ & = -\displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^2 \theta ( \sin \theta )' \, d \theta \\ & \qquad +2 \left[ \theta \cos \theta \right] _ 0^{\frac{\pi}{2}} -2 \displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \, d \theta \\ & = -\left[ \dfrac{2}{3} \sin^3 \theta \right] _ 0^{\frac{\pi}{2}} -2 \left[ \sin \theta \right] _ 0^{\frac{\pi}{2}} \\ & = -\dfrac{2}{3} +2 = \underline{\dfrac{4}{3}} \end{align}\]