不等式 \[ 1 \leqq \left| |x|-2 \right| +\left| |y|-2 \right| \leqq 3 \ . \] の表す領域を \(xy\) 平面上に図示せよ.
【 解 答 】
\(F(x,y) = \left| |x|-2 \right| +\left| |y|-2 \right|\) とおき, \(1 \leqq F(x,y) \leqq 3\) の示す領域を \(R\) とおくと
\[
F( -x , y ) = F( x , -y ) = F(x,y) \ .
\]
なので, 「領域 \(R\) は \(x\) 軸と \(y\) 軸について対称である. 」... [1]
ここで, \(x \geqq 0\) , \(y \geqq 0\) の場合について考える.
\(G(x,y) = |x-2|+|y-2|\) とおき, \(1 \leqq G(x,y) \leqq 3\) の示す領域を \(R'\) とおくと
\[
G( 4-x , y ) = G( x , 4-y ) = G(x,y) \ .
\]
なので, 「領域 \(R'\) は直線 \(x = 2\) , 直線 \(y = 2\) について対称である. 」... [2]
さらに, \(x \geqq 2\) , \(y \geqq 2\) の場合について考えると,
\[\begin{align}
1 \leqq (x-2)+(y-2) & \leqq 3 \\
\text{∴} \quad 5-x \leqq y & \leqq 7-x \quad ... [3] \ .
\end{align}\]
[3] の示す領域は下図斜線部（境界含む）.
[2] より, 領域 \(R'\) は下図斜線部（境界含む）.
よって, [1] より, 求める領域 \(R\) は下図斜線部（境界含む）.
