\(4\) 個の整数 \[ n+1 , \ n^3+3 , \ n^5+5 , \ n^7+7 \] がすべて素数となるような正の整数 \(n\) は存在しない. これを証明せよ.
【 解 答 】
\(n\) を \(3\) を法とする剰余に分類して考える.
1* \(n \equiv 0 \ ( \mod 3 )\) のとき \[ n^3+3 \equiv 0^3+3 \equiv 0 \quad ( \mod 3 ) \ . \] \(n \gt 0\) なので, \(n^3+3\) は \(3\) ではない \(3\) の倍数となる.
2* \(n \equiv 1 \ ( \mod 3 )\) のとき \[ n^5+5 \equiv 1^5+5 \equiv 0 \quad ( \mod 3 ) \ . \] \(n \gt 0\) なので, \(n^5+5\) は \(3\) ではない \(3\) の倍数となる.
3* \(n \equiv -1 \ ( \mod 3 )\) のとき \[ n^7+1 \equiv (-1)^7+7 \equiv 0 \quad ( \mod 3 ) \ . \] \(n \gt 0\) なので, \(n^7+7\) は \(3\) ではない \(3\) の倍数となる.
以上より, 任意の正の整数 \(n\) に対して, \(n^3+3 , n^5+5 , n^7+7\) のいずれかが, \(3\) でない \(3\) の倍数になり, すべてが素数となることはない.