\(t \gt 0\) において定義された関数 \(f(t)\) は次の条件 (ア) (イ) を満たす.
(ア) \(t \gt 0\) のとき, すべての実数 \(x\) に対して不等式 \[ t \cdot \dfrac{e^x +e^{-x}}{2} +f(t) \geqq 1+x \] が成り立つ.
(イ) \(t \gt 0\) に対して, 等式 \[ t \cdot \dfrac{e^x +e^{-x}}{2} +f(t) = 1+x \] を満たす実数 \(x\) が存在する.
このとき, \(f(t)\) を求めよ.
【 解 答 】
\(g(x) = t \cdot \dfrac{e^x +e^{-x}}{2} +f(t) -(1+x)\) とおく. \[ g'(x) = t \cdot \dfrac{e^x -e^{-x}}{2} -1 \ . \] \(g'(x) = 0\) をとくと, \(t \gt 0\) なので \[\begin{align} e^x -e^{-x} & = \dfrac{2}{t} \\ t e^{2x} -2 e^x -t & = 0 \\ \text{∴} \quad e^x = \dfrac{1 +\sqrt{t^2 +1}}{t} & \quad ( \ \text{∵} \quad e^x \gt 0 \ ) \ . \end{align}\] このときの \(x\) の値を \(\alpha \left( = \log \left( 1 +\sqrt{t^2 +1} \right) -\log t \right)\) とおくと \[ e^{-\alpha} = e^{\alpha} -\dfrac{t}{2} = \dfrac{-1 +\sqrt{t^2 +1}}{t} \ . \] したがって
\(x \lt \alpha\) のとき, \(g'(x) \lt 0\)
\(x \gt \alpha\) のとき, \(g'(x) \gt 0\)
ゆえに, \(g(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccc} x & \cdots & \alpha & \cdots \\ \hline g'(x) & - & 0 & + \\ \hline g(x) & \searrow & \text{最小} & \nearrow \end{array} \] したがって, 条件 (ア) (イ) をみたすための条件は \[ g( \alpha ) = 0 \ . \] これをとくと \[ t \cdot \dfrac{2 \sqrt{t^2 +1}}{2t} +f(t) -\left( 1 +\log \left( 1 +\sqrt{t^2 +1} \right) -\log t \right) = 0 \\ \text{∴} \quad f(t) = \underline{\log \left( 1 +\sqrt{t^2 +1} \right) -\log t -\sqrt{t^2 +1} +1} \ . \]