半径 \(1\) の \(2\) つの球 \(S _ 1\) と \(S _ 2\) が \(1\) 点で接している. 互いに重なる部分のない等しい半径を持つ \(n\) 個（ \(n \geqq 3\) ）の球 \(T _ 1 , T _ 2 , \cdots , T _ n\) があり, 次の条件 (ア) (イ) を満たす.
(ア) \(T _ {i}\) は \(S _ 1 , S _ 2\) にそれぞれ \(1\) 点で接している（ \(i = 1 , 2 , \cdots , n\) ）.
(イ) \(T _ i\) は \(T _ {i+1}\) に \(1\) 点で接しており（ \(i = 1 , 2 , \cdots , n-1\) ）, そして \(T _ n\) は \(T _ 1\) に \(1\) 点で接している.
このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(T _ 1 , T _ 2 , \cdots , T _ n\) の共通の半径 \(r _ n\) を求めよ.
(2) \(S _ 1\) と \(S _ 2\) の中心を結ぶ直線のまわりに \(T _ 1\) を回転してできる回転体の体積を \(V _ n\) とし, \(T _ 1 , T _ 2 , \cdots , T _ n\) の体積の和を \(W _ n\) とするとき, 極限 \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{W _ n}{V _ n} \ . \] を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(S _ 1 , T _ 1 , T _ 2\) の中心をそれぞれ O , P , Q , \(S _ 1\) と \(S _ 2\) , \(T _ 1\) と \(T _ 2\) の接点をそれぞれ R , S とおく.
このとき, \(\text{OP} = 1+r _ n\) であり, \(\text{PR} = d _ n\) とおくと
\[
d _ n = \sqrt{(1+r _ n)^2 -1^2} = \sqrt{r _ n ( r _ n +2 )} \quad ... [1] \ .
\]
△PRS に着目すれば
\[
\sin \dfrac{\pi}{n} = \dfrac{r _ n}{d _ n} = \sqrt{\dfrac{r _ n}{r _ n +2}} \ .
\]
両辺を平方すれば
\[\begin{align}
\dfrac{r _ n}{r _ n +2} & = \sin^2 \dfrac{\pi}{n} \\
\left( 1 -\sin^2 \dfrac{\pi}{n} \right) r _ n & = \sin^2 \dfrac{\pi}{n} \\
\text{∴} \quad r _ n & = \underline{2 \tan^2 \dfrac{\pi}{n}} \ .
\end{align}\]
(2)
\[
W _ n = \dfrac{4n \pi}{3} {r _ n}^3 \quad ... [2] \ .
\]
\(T _ 1\) の回転体は, 中心 \(( 0 , d _ n )\) , 半径 \(r _ n\) の円 \(C _ n\) を \(x\) 軸のまわりの回転体である.
\(C _ n\) の式について
\[\begin{align}
x^2 & + \left( y -d _ n \right)^2 = {r _ n}^2 \\
\text{∴} \quad y & = d _ n \pm \sqrt{{r _ n}^2 -y^2} \quad ... [3] \ .
\end{align}\]
[3] の複号のうち, 正, 負をとるときの式をそれぞれ \(y _ {+} , y _ {-}\) とおくと
\[\begin{align}
V _ n & = 2 \pi \displaystyle\int _ 0^{r _ n} \left( {y _ {+}}^2 -{y _ {-}}^2 \right) \, dx \\
& = 2 \pi \cdot 4 d _ n \underline{\displaystyle\int _ 0^{r _ n} \sqrt{{r _ n}^2 -y^2} \, dx} _ {[4]} \\
& = 8 \pi d _ n \cdot \dfrac{\pi {r _ n}^2}{4} \\
& = 2 \pi^2 d _ n {r _ n}^2 \quad ... [5] \ .
\end{align}\]
ここで, 下線部 [4] は, 半径 \(r _ n\) の四分円の面積を表すことを用いた.
したがって, [2] [5] より
\[\begin{align}
\dfrac{W _ n}{V _ n} & = \dfrac{2n r _ n}{3 \pi d _ n} \\
& = \dfrac{2}{3 \pi} \sqrt{\underline{\dfrac{n^2 r _ n}{r _ n +2}} _ {[6]}} \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \ .
\end{align}\]
ここで, 下線部 [6] について, (1) の結果を用いれば
\[\begin{align}
[6] & = \dfrac{n^2 \tan^2 \frac{\pi}{n}}{1 +\tan^2 \frac{\pi}{n}} \\
& = n^2 \cdot \sin^2 \dfrac{\pi}{n} \\
& = \pi^2 \cdot \left( \dfrac{\sin \frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}} \right)^2 \\
& \rightarrow \pi^2 \quad ( \ n \rightarrow \infty \text{のとき} \ \ ) \ .
\end{align}\]
よって, 求める極限値は
\[
\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{W _ n}{V _ n} = \dfrac{2}{3 \pi} \cdot \pi = \underline{\dfrac{2}{3}} \ .
\]