自然数 \(n\) に対して関数 \(f _ n (x)\) を \[ f _ n (x) = \dfrac{x}{n (1+x)} \log \left( 1 +\dfrac{x}{n} \right) \quad ( x \geqq 0 ) \] で定める. 以下の問いに答えよ.
(1) \(\displaystyle\int _ 0^n f(x) \, dx \leqq \displaystyle\int _ 0^1 \log (1+x) \, dx\) を示せ.
(2) 数列 \(\{ I _ n \}\) を \[ I _ n = \displaystyle\int _ 0^n f(x) \, dx \] で定める. \(0 \leqq x \leqq 1\) のとき \(\log ( 1+x ) \leqq \log 2\) であることを用いて数列 \(\{ I _ n \}\) が収束することを示し, その極限値を求めよ. ただし, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{\log x}{x} = 0\) であることは用いてよい.
【 解 答 】
(1)
\(t = \dfrac{x}{n}\) とおくと \[ dt = \dfrac{dx}{n} , \ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \rightarrow & n \\ \hline t & 0 & \rightarrow & 1 \end{array} \ . \] なので \[ \displaystyle\int _ 0^n f(x) \, dx = \displaystyle\int _ 0^1 \dfrac{nt}{1 +nt} \log (1+t) \, dt \quad ... [1] \ . \] \(0 \leqq t \leqq 1\) において \[ 0 \leqq \dfrac{nt}{1 +nt} \leqq 1 \ . \] なので \[ [1] \leqq \displaystyle\int _ 0^1 \log (1+t) \, dt \ . \] すなわち \[ \displaystyle\int _ 0^n f(x) \, dx \leqq \displaystyle\int _ 0^1 \log (1+x) \, dx \ . \]
(2)
\(J _ n = \displaystyle\int _ 0^1 \log (1+x) \, dx -I _ n\) とおくと, (1) の結果より \[ J _ n \geqq 0 \quad ... [2] \ . \] [1] と \(\log (1+x) \leqq \log 2\) を用いれば \[\begin{align} J _ n & = \displaystyle\int _ 0^1 \dfrac{1}{1 +nx} \log (1+x) \, dx \\ & \leqq \log 2 \displaystyle\int _ 0^1 \dfrac{1}{1 +nx} \, dx \\ & = \log 2 \left[ \dfrac{\log ( 1+nx )}{n} \right] _ 0^1 \\ & = \log 2 \cdot \dfrac{\log (1+n)}{n} \quad ... [3] \ . \end{align}\] \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{\log x}{x} = 0\) を用いれば \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \log 2 \cdot \dfrac{\log (1+n)}{n} = 0 \ . \] なので, [2] [3] より \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} J _ n & = 0 \\ \text{∴} \quad \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} I _ n & = \displaystyle\int _ 0^1 \log (1+x) \, dx \ . \end{align}\] よって, \(\{ I _ n \}\) は収束し, その極限値は \[\begin{align} I _ n & = \left[ (1+x) \log (1+x) \right] _ 0^1 -\displaystyle\int _ 0^1 (1+x) \dfrac{1}{1+x} \, dx \\ & = 2 \log 2 -[ x ] _ 0^1 \\ & = \underline{2 \log 2 -1} \ . \end{align}\]