実数 \(x , y\) が \(|x| \leqq 1\) と \(|y| \leqq 1\) を満たすとき, 不等式 \[ 0 \leqq x^2 +y^2 -2 x^2 y^2 +2xy \sqrt{1 -x^2} \sqrt{1 -y^2} \leqq 1 \] が成り立つことを示せ.

【 解 答 】

\(P = x^2 +y^2 -2 x^2 y^2 +2xy \sqrt{1 -x^2} \sqrt{1 -y^2}\) とおくと \[\begin{align} P & = x^2 ( 1 -y^2 ) +y^2 ( 1 -x^2 ) +2xy \sqrt{1 -x^2} \sqrt{1 -y^2} \\ & = \left( x \sqrt{1 -y^2} +y \sqrt{1 -x^2} \right)^2 \geqq 0 \ . \end{align}\] また \[\begin{align} 1-P & = x^2y^2 +( 1 -x^2 ) ( 1 -y^2 ) -2xy \sqrt{1 -x^2} \sqrt{1 -y^2} \\ &= \left( xy -\sqrt{1 -x^2} \sqrt{1 -y^2} \right)^2 \geqq 0 \ . \end{align}\] よって \[ 0 \leqq P \leqq 1 \ . \]

【 別 解 】

条件より, \(x = \cos \alpha\) , \(y = \cos \beta \ ( 0 \leqq \alpha , \beta \leqq \pi )\) とおくことができる.
\(P = x^2 +y^2 -2 x^2 y^2 +2xy \sqrt{1 -x^2} \sqrt{1 -y^2}\) とおくと \[\begin{align} P & = \cos^2 \alpha ( 1 -\cos^2 \beta ) \\ & \qquad +\cos^2 \beta ( 1 -\cos^2 \alpha ) -2 \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha \sin \beta \\ & = \cos^2 \alpha \sin^2 \beta +\cos^2 \beta \sin^2 \alpha -2 \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha \sin \beta \\ & = \left( \cos \alpha \sin \beta -\cos \beta \sin \alpha \right)^2 \\ & = \sin^2 ( \alpha -\beta ) \ . \end{align}\] よって \[ 0 \leqq P \leqq 1 \ . \]