座標空間の \(x\) 軸上に動点 P , Q がある. P , Q は時刻 \(0\) において, 原点を出発する. P は \(x\) 軸の正の方向に, Q は \(x\) 軸の負の方向に, ともに速さ \(1\) で動く. その後, ともに時刻 \(1\) で停止する. 点 P , Q を中心とする半径 \(1\) の球をそれぞれ \(A , B\) とし, 空間で \(x \geqq -1\) の部分を \(C\) とする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 時刻 \(t \ ( 0 \leqq t \leqq 1 )\) における立体 \(( A \cup B ) \cap C\) の体積 \(V(t)\) を求めよ.
(2) \(V(t)\) の最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
対称性から, \(A , B\) の球面の交わりは, 平面 \(x = 0\) 上にある.
上図のように \(xy\) 平面を設定し, \(2\) つの半円 \(A' , B'\) の式をそれぞれ \(y _ A , y _ B\) とおけば
\[\begin{align}
y _ A & = \sqrt{1 -(x-t)^2} \\
y _ B & = \sqrt{1 -(x+t)^2} \ .
\end{align}\]
立体 \(( A \cup B ) \cap C\) は, 上図斜線部を \(x\) 軸のまわりに回転させた回転体に相当する.
よって, 求める体積は
\[\begin{align}
V(t) & = \pi \displaystyle\int _ {-1}^0 {y _ B}^2 \, dx +\pi \displaystyle\int _ 0^{1+t} {y _ A}^2 \, dx \\
& = \pi \displaystyle\int _ {-1}^0 \left\{ 1 -(x+t)^2 \right\} \, dx +\pi \displaystyle\int _ 0^{1+t} \left\{ 1 -(x-t)^2 \right\} \, dx \\
& = \pi \left[ x -\dfrac{(x+t)^3}{3} \right] _ {-1}^0 +\pi \left[ x -\dfrac{(x-t)^3}{3} \right] _ 0^{1+t} \\
& = \pi \left\{ -\dfrac{t^3}{3} +1 +\dfrac{(t-1)^3}{3} \right\} +\pi \left( 1+t -\dfrac{1}{3} -\dfrac{t^3}{3} \right) \\
& = \underline{\dfrac{\pi}{3} ( -t^3 -3t^2 +6t +4 )} \ .
\end{align}\]
(2)
\(f(t) = -t^3 -3t^2 +6t +4\) とおけば, \(f(t)\) が最大になるとき, \(V(t)\) も最大になる.
\[\begin{align}
f'(t) & = -3t^2 -6t +6 \\
& = -3 ( t^2 +2t -2 ) \ .
\end{align}\]
\(f'(t) = 0\) をとくと
\[
t = -1 +\sqrt{1+2} = \sqrt{3} -1 \ .
\]
したがって, \(0 \leqq t \leqq 1\) における \(f(t)\) の増減は下表のようになる.
\[
\begin{array}{c|ccccc} t & 0 & \cdots & \sqrt{3} -1 & \cdots & 1 \\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & \\ \hline f(t) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}
\]
\(f(x = -(x+1) (t^2+2t-2) +6t+2\) であることを用いれば
\[
f \left( \sqrt{3} -1 \right) = 6 \sqrt{3} -4 \ .
\]
よって, \(V(t)\) の最大値は
\[
\dfrac{\pi}{3} f \left( \sqrt{3} -1 \right) = \underline{\left( 2 \sqrt{3} -\dfrac{4}{3} \right) \pi} \ .
\]