2007年 - 大学入試数学の資料集

東大文系2007：第1問

roundown — Thu, 11 Apr 2013 23:36:48 +0000

連立方程式 \[ y \left( y -| x^2-5 | +4 \right) \leqq 0 , \ y +x^2 -2x -3 \leqq 0 \] の表す領域を \(D\) とする.

(1)　\(D\) を図示せよ.
(2)　\(D\) の面積を求めよ.

【解答】

(1)

第 \(1\) 式より \[ \left\{\begin{array}{ll} y \geqq | x^2-5 | -4 & \ ( \ y \lt 0 \text{のとき} ) \\ y \leqq | x^2-5 | -4 & \ ( \ y \geqq 0 \text{のとき} ) \end{array}\right. \] 第 \(2\) 式より \[ y \leqq -(x-1)^2 +4 = -(x+1)(x-3) \] よって, \(D\) は下図斜線部（境界含む）

(2)

求める面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ {-1}^{1} (1-x^2) \, dx -\displaystyle\int _ {1}^{\sqrt{5}} (1-x^2) \, dx \\ & \qquad -\displaystyle\int _ {\sqrt{5}}^{3} (x^2-9) \, dx \\ & = \dfrac{1}{6} \cdot 2^3 -\left[ x -\dfrac{x^3}{3} \right] _ {1}^{\sqrt{5}} -\left[ \dfrac{x^3}{3} -9x \right] _ {\sqrt{5}}^{3} \\ & = \dfrac{4}{3} +\left( \dfrac{2}{3} +\dfrac{2 \sqrt{5}}{3} \right) +\left( 18 -\dfrac{22 \sqrt{5}}{3} \right) \\ & = \underline{20 -\dfrac{20 \sqrt{5}}{3}} \end{align}\]

東大文系2007：第2問

roundown — Thu, 11 Apr 2013 23:37:42 +0000

\(r\) は \(0 \lt r \lt 1\) をみたす実数, \(n\) は \(2\) 以上の整数とする. 平面上に与えられた \(1\) つの円を, 次の条件【1】, 【2】をみたす \(2\) つの円で置き換えられる操作を (P) を考える.

【1】新しい \(2\) つの円の半径の比は \(r : 1-r\) で, 半径の和はもとの円の半径に等しい.
【2】新しい \(2\) つの円は互いに外接し, もとの円に内接する.

以下のようにして, 平面上に \(2^n\) 個の円を作る.

最初に, 平面上に半径 \(1\) の円を描く.
次に, この円に対して操作(P)を行い, \(2\) つの円を得る（これを \(1\) 回目の操作という）.
\(k\) 回目の操作で得られた \(2^k\) 個の円のそれぞれについて, 操作 (P) を行い, \(2^{k+1}\) 個の円を得る（ \(1 \leqq k \leqq n-1\) ）.

(1)　\(n\) 回目の操作で得られる \(2^n\) 個の円の周の長さの和を求めよ.
(2)　\(2\) 回目の操作で得られる \(4\) つの円の面積の和を求めよ.
(3)　\(n\) 回目の操作で得られる \(2^n\) 個の円の面積の和を求めよ.

【解答】

(1)

操作 (P) を行っても, 円の直径の和は不変なので, 周の長さの和は \[ \underline{2 \pi} \]

(2)

任意の半径 \(k\) の円に対して, 操作 (P) を行うと, 得られる円の面積の和は \[\begin{align} \pi (rk)^2 & +\pi \left\{ (1-r)k \right\}^2 \\ & = \pi k^2 \left( 2r^2-2r+1 \right) \end{align}\] したがって, 円の面積の和は, \(2r^2-2r+1\) 倍になる.
よって, (P) を \(2\) 回行って得られる円の面積の和は \[ \underline{\pi \left( 2r^2-2r+1 \right)^2} \]

(3)

(2) と同様に考えれば, 求める面積の和は \[ \underline{\pi \left( 2r^2-2r+1 \right)^n} \]

東大文系2007：第3問

roundown — Thu, 11 Apr 2013 23:38:38 +0000

正の整数の下 \(2\) 桁とは, \(100\) の位以上を無視した数をいう. たとえば \(2000, 12345\) の下 \(2\) 桁はそれぞれ \(0, 45\) である. \(m\) が正の整数全体を動くとき, \(5 m^4\) の下 \(2\) 桁として現れる数をすべて求めよ.

【解答】

自然数 \(m = 10N+k \ ( k = 0 , 1 , \cdots , 9 )\) と表す.
法を \(100\) として \[\begin{align} 5m^4 & \equiv 5 ( 10N+k )^4 \\ & \equiv 5 ( 100N^2 +20Nk +k^2 )^2 \\ & \equiv 5 k^2 ( 20N+k )^2 \\ & \equiv 5 k^2 ( 400N^2 +40Nk +k^2 ) \\ & \equiv 5 k^4 \end{align}\] したがって, \(5k^4\) の下 \(2\) 桁について考えればよい.
あらためて, \(k = 0 , \pm 1 , \cdots , \pm 4 , 5\) とおくことができる.
このとき, 各数の下 \(2\) 桁は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|cccccc} k & 0 & \pm 1 & \pm 2 & \pm 3 & \pm 4 & 5 \\ \hline k^2 & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\ \hline k^4 & 0 & 1 & 16 & 81 & 56 & 25 \\ \hline 5k^4 & 0 & 5 & 80 & 5 & 80 & 25 \end{array} \] よって, 求める値は \[ \underline{0 , 5 , 25 , 80} \]

東大文系2007：第4問

roundown — Thu, 11 Apr 2013 23:39:27 +0000

表が出る確率が \(p\) , 裏が出る確率が \(1-p\) であるような硬貨がある. ただし, \(0 \lt p \lt 1\) とする. この硬貨を投げて, 次のルール (R) の下で, ブロック積みゲームを行う.

(R)
1. [1]　ブロックの高さは, 最初は \(0\) とする.
2. [2]　硬貨を投げて表が出れば高さ \(1\) のブロックを \(1\) つ積み上げ, 裏が出ればブロックをすべて取り除いて高さ \(0\) に戻す.

\(n\) を正の整数, \(m\) を \(0 \leqq m \leqq n\) をみたす整数とする.

(1)　\(n\) 回硬貨を投げたとき, 最後にブロックの高さが \(m\) となる確率 \(p _ m\) を求めよ.
(2)　(1) で, 最後にブロックの高さが \(m\) 以下となる確率 \(q _ m\) を求めよ.
(3)　ルール (R) の下で, \(n\) 回の硬貨投げを独立に \(2\) 度行い, それぞれ最後のブロックの高さを考える. \(2\) 度のうち, 高い方のブロックの高さが \(m\) である確率 \(r _ m\) を求めよ. ただし, 最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする.

【解答】

(1)

1*　\(m \neq n\) のとき
\(n-m\) 回目で裏が出て, 残り \(m\) 回がすべて表である場合なので \[ p _ m = (1-p) p^m \]
2*　\(m=n\) のとき
\(n\) 回がすべて表である場合なので \[ p _ n = p^n \]

以上より \[ p _ m = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} (1-p) p^m & ( m \neq n \text{のとき} )\\ p^m & ( m=n \text{のとき} ) \end{array} \right.} \]

(2)

1*　\(m \neq n\) のとき \[\begin{align} q _ m & = \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{m} p _ k \\ & = (1-p) \cdot \dfrac{1-p^{m+!}}{1-p} \\ & = 1 -p^{m+1} \end{align}\]
2*　\(m=n\) のとき, 明らかに \[ p _ n = 1 \]

以上より \[ p _ m = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 1 -p^{m+1} & ( m \neq n \text{のとき} )\\ 1 & ( m=n \text{のとき} ) \end{array} \right.} \]

(3)

1*　\(m=0\) のとき \[ r _ 0 = {p _ 0}^2 = (1-p)^2 \]
2*　\(1 \leqq m \leqq n-1\) のとき \[\begin{align} r _ m & = {q _ m}^2 -{q _ {m-1}}^2 \\ & = \left( 1-q^{m+1} \right)^2 -\left( 1-q^m \right)^2 \\ & = p^m (1-p) \left\{ 2-p^m (1+p) \right\} \end{align}\] これは1*の場合も満たしている.
3*　\(m=n\) のとき \[\begin{align} r _ n & = {q _ n}^2 -{q _ {n-1}}^2 \\ & = 1 -\left( 1-p^n \right)^2 \\ & = p^n \left( 2 -p^n \right) \end{align}\]

以上より \[ p _ m = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} p^m (1-p) \left\{ 2-p^m (1+p) \right\} & ( m \neq n \text{のとき} )\\ p^m \left( 2 -p^m \right) & ( m=n \text{のとき} ) \end{array} \right.} \]

一橋大2007：第1問

roundown — Tue, 09 Apr 2013 15:11:44 +0000

\(m\) を整数とし, \(f(x) = x^3+8x^2+mx+60\) とする.

(1)　整数 \(a\) と, \(0\) ではない整数 \(b\) で, \(f(a+bi) = 0\) をみたすものが存在するような \(m\) をすべて求めよ. ただし, \(i\) は虚数単位である.
(2)　(1) で求めたすべての \(m\) に対して, 方程式 \(f(x) = 0\) を解け.

【解答】

(1)

条件より, \(f(x) = 0\) の \(3\) つの解は, 実数 \(c\) を用いて \(x= a \pm bi , c\) と表せる.
解と係数の関係を用いると \[\begin{align} 2a+c & = -8 \quad ... [1] \ , \\ a^2+b^2 +2ac & = m \quad ... [2] \ , \\ c(a^2+b^2) & = -60 \quad ... [3] \end{align}\] [1] より, \(c\) も整数であり \[ c = -2(a+4) \quad ... [4] \] [3] に代入すると \[ (a+4)(a^2+b^2) = 30 \] ここで, \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\) の約数のうち, \(2\) つの平方数の和で表せるのは \(1 , 2 , 5 , 10\) のみなので, \(a , a^2+b^2\) の取り得る値は \[ ( a , a^2 +b^2 ) = ( 26 , 1 ) , ( 11 , 2 ) , ( 2 , 5 ) , ( -1 , 10 ) \] このうち, \(a , b\) ともに整数となるのは \[ (a,b) = ( 2 , \pm 1 ) , (-1 , \pm 3 ) \] したがって, [2] [4]を用いて

\((a,b) = ( 2 , \pm 1 )\) のとき
\[\begin{align} c & = -2 (2+4) = -12 \ , \\ m & = 5 +2 \cdot 2 \cdot (-12) = -43 \end{align}\]
\((a,b) = (-1 , \pm 3 )\) のとき
\[\begin{align} c & = -2 (-1+4) = -6 \ , \\ m & = 10 +2 \cdot (-1) \cdot (-6) = 22 \end{align}\] よって, 求める \(m\) の値は \[ m = \underline{-43 , 22} \]

(2)

(1) の結果を用いれば, 求める解は

\(m = -43\) のとき
\[ x = \underline{2 \pm i , -12} \]
\(m = 22\) のとき
\[ x = \underline{-1 \pm 3i , -6} \]

一橋大2007：第2問

roundown — Tue, 09 Apr 2013 15:12:29 +0000

数列 \(\{ a _ n \}, \{ b _ n \}, \{ c _ n \}\) を \[\begin{align} a _ 1 & = 2 , \ a _ {n+1} = 4 a _ n \ . \\ b _ 1 & = 3 , \ b _ {n+1} = b _ n +2 a _ n \ . \\ c _ 1 & = 4 , \ c _ {n+1} = \dfrac{c _ n}{4} +a _ n +b _ n \end{align}\] と順に定める. 放物線 \(y = a _ n x^2 +2 b _ n x +c _ n\) を \(H _ n\) とする.

(1)　\(H _ n\) は \(x\) 軸と \(2\) 点で交わることを示せ.
(2)　\(H _ n\) と \(x\) 軸との交点を \(\text{P}{} _ n , \text{Q}{} _ n\) とする. \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \text{P}{} _ n \text{Q}{} _ n\) を求めよ.

【解答】

(1)

数学的帰納法を用いて示す.

1*　\(n=1\) のとき \[ 2x^2+6x+4 = 0 \] 判別式を \(D _ 1\) とおくと \[ \dfrac{D _ 1}{4} = 3^2 -2 \cdot 4 = 1 \gt 0 \] したがって, \(H _ 1\) は \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる.
2*　\(n = k \ ( k \geqq 1 )\) のとき
\(H _ k\) が \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる, すなわち \(a _ k x^2 +2 b _ k x +c _ k = 0\) の判別式 \(D _ k\) について \[ \dfrac{D _ k}{4} = {b _ k}^2 -a _ k c _ k \gt 0 \quad ... [1] \] が成立すると仮定すると \(a _ {k+1} x^2 +2 b _ {k+1} x +c _ {k+1} = 0\) の判別式 \(D _ {k+1}\) について \[\begin{align} \dfrac{D _ {k+1}}{4} & = {b _ {k+1}}^2 -a _ {k+1} c _ {k+1} \\ & = \left( b _ k +2 a _ k \right)^2 -4 a _ k \left( \dfrac{c _ k}{4} +a _ k +b _ k \right) \\ & = {b _ k}^2 -a _ k c _ k \\ & = \dfrac{D _ k}{4} \gt 0 \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \end{align}\] ゆえに, \(H _ {k+1}\) も \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる.

以上より, すべての自然数 \(n\) について, \(H _ n\) は \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる.

(2)

\(a _ n x^2 +2 b _ n x +c _ n = 0\) の \(2\) 解を \({\alpha} _ n , {\beta} _ n \ ( {\alpha} _ n \lt {\beta} _ n )\) とおくと, 解と係数の関係より \[ {\alpha} _ n + {\beta} _ n = -\dfrac{2 b _ n}{a _ n} , \ {\alpha} _ n {\beta} _ n = \dfrac{c _ n}{a _ n} \] これを用いれば \[\begin{align} \text{P}{} _ n \text{Q}{} _ n & = {\beta} _ n - {\alpha} _ n \\ & = \sqrt{\left( {\alpha} _ n + {\beta} _ n \right)^2 -4 {\alpha} _ n {\beta} _ n} \\ & = \dfrac{\sqrt{4 {b _ n}^2 -4 a _ n c _ n}}{a _ n} \\ & = \dfrac{2}{a _ n} \sqrt{\dfrac{D _ n}{4}} = \dfrac{\sqrt{D _ n}}{a _ n} \quad ... [2] \end{align}\] (1) の途中経過より, \(D _ n\) は \(n\) によらず一定で \[ D _ n = D _ 1 = 6^2 -4 \cdot 2 \cdot 4 = 4 \] また, 条件より \(\{ a _ n \}\) は初項 \(2\) , 公比 \(4\) の等比数列なので \[ a _ n = 2 \cdot 4^{n-1} = 2^{2n-1} \] これらを [2] に代入すれば \[ \text{P}{} _ n \text{Q}{} _ n = \left( \dfrac{1}{4} \right)^{n-1} \] よって求める和は \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \text{P}{} _ n \text{Q}{} _ n & = \dfrac{1 -\left( \frac{1}{4} \right)^n}{1 -\frac{1}{4}} \\ & = \underline{\dfrac{4}{3} \left\{ 1 -\left( \dfrac{1}{4} \right)^n \right\}} \end{align}\]

一橋大2007：第3問

roundown — Tue, 09 Apr 2013 15:13:04 +0000

放物線 \(y=ax^2+bx \ ( a \gt 0 )\) を \(C\) とする. \(C\) 上に異なる \(2\) 点 P , Q をとり, その \(x\) 座標をそれぞれ \(p , q \ ( 0 \lt p \lt q )\) とする.

(1)　線分 OQ と \(C\) で囲まれた部分の面積が, △OPQ の面積の \(\dfrac{3}{2}\) 倍であるとき, \(p\) と \(q\) の関係を求めよ. ただし, O は原点を表す.
(2)　Q を固定して P を動かす. △OPQ の面積が最大となるときの \(p\) を \(q\) で表せ. また, そのときの △OPQ の面積と, 線分 OQ と \(C\) で囲まれた部分の面積との比を求めよ.

【解答】

(1)

線分 OQ と \(C\) に囲まれた部分, △OPQ の面積をそれぞれ \(S , T\) とおく. \[\begin{align} S & = -\displaystyle\int _ 0^q ax(x-q) \, dx \\ & = \dfrac{1}{6} aq^3 , \\ T & = \dfrac{1}{2} \left| p (aq^2+bq) -q (ap^2+bp) \right| \\ & = \dfrac{1}{2} apq(q-p) \end{align}\] \(S = \dfrac{3}{2} T\) なので \[\begin{align} \dfrac{1}{6} aq^3 & = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2} apq(q-p) \\ 2q^2 -9pq +9p^2 & = 0 \\ (2q-3p)(q-3p) & = 0 \text{∴} \quad \underline{ q = 3p , \dfrac{3p}{2}} & \end{align}\]

(2)

\[ T = \dfrac{aq}{2} \left\{ -\left( p -\dfrac{q}{2} \right)^2 +\dfrac{q^2}{4} \right\} \] したがって, \(T\) を最大にする \(p\) は \[ p = \underline{\dfrac{q}{2}} \] これは, \(0 \lt p \lt q\) を満たしている.
このとき \[\begin{align} T : S & = \dfrac{1}{8} aq^3 : \dfrac{1}{6} aq^3 \\ & = \underline{3 : 4} \end{align}\]

一橋大2007：第4問

roundown — Wed, 10 Apr 2013 12:37:39 +0000

\(a\) を定数とし, \(f(x) = x^3-3ax^2+a\) とする. \(x \leqq 2\) の範囲で \(f(x)\) の最大値が \(105\) となるような \(a\) をすべて求めよ.

【解答】

\[ f'(x) = 3x^2 -6ax = 3x(x-2a) \] \(f'(x)=0\) をとくと \[ x=0 , 2a \] 極大ととなる点にも着目すれば, \(x \leqq 2\) において最大値となる候補は \[\begin{align} f(2) & = 8-12a+a = 8-11a , \\ f(2a) & = 8a^3 -12a^3 +a = -4a^3+a \quad ( \ a \lt 0 \text{のときのみ} ) , \\ f(0) & = a \quad ( \ a \gt 0 \text{のときのみ} ) \end{align}\] これらの大小を比較すると, 下のグラフのようになる.

よって, \(f(x)\) の \(x \leqq 2\) における最大値は \[ \left\{\begin{array}{ll} -4a^3+a & ( \ a \lt -2 \text{のとき} ) \\ 8-11a & \left( \ -2 \leqq a \lt \dfrac{2}{3} \text{のとき} \right) \\ a & \left( \ a\geq \dfrac{2}{3} \text{のとき} \right) \end{array}\right. \] それぞれの場合について, 最大値が \(105\) になるときを調べると

1*　\(a \lt -2\) のとき \[\begin{align} -4a^3+a & = 105 \\ (a+3)(4a^2 -12a +35) & = 0 \\ \text{∴} \quad a = -3 & \end{align}\] これは \(a \lt -2\) を満たしている.
2*　\(-2 \leqq a \lt \dfrac{2}{3}\) のとき \[\begin{align} 8-11a & = 105 \\ \text{∴} \quad a & = -\dfrac{97}{11} \end{align}\] これは \(-2 \leqq a \lt \dfrac{2}{3}\) を満たさず, 不適.
3*　\(a \geqq \dfrac{2}{3}\) のとき \[ a = 105 \] これは \(a \geqq \dfrac{2}{3}\) を満たしている.

以上より, 求める \(a\) の値は \[ a = \underline{-3 , 105} \]

2007年 - 大学入試数学の資料集

東大文系2007：第1問

【 解 答 】

東大文系2007：第2問

【 解 答 】

東大文系2007：第3問

【 解 答 】

東大文系2007：第4問

【 解 答 】

一橋大2007：第1問

【 解 答 】

一橋大2007：第2問

【 解 答 】

一橋大2007：第3問

【 解 答 】

一橋大2007：第4問

【 解 答 】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】

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