\(0 \leqq \alpha \leqq \beta\) をみたす実数 \(\alpha , \beta\) と, \(2\) 次式 \(f(x) = x^2 -( \alpha +\beta )x + \alpha \beta\) について, \[ \displaystyle\int _ {-1}^1 f(x) \, dx = 1 \] が成立しているとする. このとき定積分 \[ S = \displaystyle\int _ {0}^{\alpha} f(x) \, dx \] を \(\alpha\) の式で表し, \(S\) がとりうる値の最大値を求めよ.

【 解 答 】

\[\begin{align} \displaystyle\int _ {-1}^1 f(x) \, dx & = 2 \displaystyle\int _ {0}^1 ( x^2 +\alpha \beta ) \, dx \\ & = 2 \left[ \dfrac{x^3}{3} +\alpha \beta x \right] _ 0^1 \\ & = 2 \left( \dfrac{1}{3} +\alpha \beta \right) \end{align}\] なので \[\begin{gather} 2 \left( \dfrac{1}{3} +\alpha \beta \right) = 1 \\ \text{∴} \quad \alpha \beta = \dfrac{1}{6} \end{gather}\] したがって, \(\alpha \neq 0\) の場合を考えればよく \[ \beta = \dfrac{1}{6 \alpha} \] \(0 \lt \alpha \leqq \beta\) なので \[\begin{align} \alpha & \leqq \dfrac{1}{6 \alpha} \\ \text{∴} \quad 0 & \lt \alpha \leqq \dfrac{1}{\sqrt{6}} \quad ... [1] \end{align}\] このとき \[\begin{align} S & = \left[ \dfrac{x^3}{3} -\dfrac{\alpha +\beta}{2} x^2 +\alpha \beta x \right] _ 0^{\alpha} \\ & = \dfrac{\alpha^3}{3} -\dfrac{\alpha^2}{2} \left( \alpha +\dfrac{1}{6 \alpha} \right) +\dfrac{\alpha}{6} \\ & = \underline{\dfrac{1}{12} ( \alpha -2 \alpha^3 )} \end{align}\] したがって \[\begin{align} \dfrac{d S}{d \alpha} & = \dfrac{1}{12} ( 1 -6 \alpha^2 ) \\ & = -\dfrac{1}{12} \left( \alpha +\dfrac{1}{\sqrt{6}} \right) \left( \alpha -\dfrac{1}{\sqrt{6}} \right) \geqq 0 \end{align}\] よって, \(\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\) のとき, \(S\) は最大値 \[\begin{align} S & = \dfrac{1}{12} \left( \dfrac{1}{\sqrt{6}} -\dfrac{2}{6 \sqrt{6}} \right) \\ & = \dfrac{1}{12} \cdot \dfrac{2}{3 \sqrt{6}} \\ & = \underline{\dfrac{\sqrt{6}}{108}} \end{align}\] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/tkb200801/feed/ 0 https://www.roundown.net/nyushi/tkb200802/ https://www.roundown.net/nyushi/tkb200802/#respond Sun, 06 Jan 2013 02:43:53 +0000 http://www.roundown.net/nyushi/?p=566

白黒 \(2\) 種類のカードがたくさんある. そのうち \(k\) 枚のカードを手もとにもっているとき, 次の操作 (A) を考える.

1. (A)　手持ちの \(k\) 枚の中から \(1\) 枚を, 等確率 \(\dfrac{1}{k}\) で選び出し, それを違う色のカードにとりかえる.

以下の問 (1) , (2) に答えよ.

1. (1)　最初に白 \(2\) 枚, 黒 \(2\) 枚, 合計 \(4\) 枚のカードをもっているとき, 操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後に初めて, \(4\) 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.

2. (2)　最初に白 \(3\) 枚, 黒 \(3\) 枚, 合計 \(6\) 枚のカードをもっているとき, 操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後に初めて, \(6\) 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.

【 解 答 】

(1)

操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後, \(2\) 色のカードが \(2\) 枚ずつとなる確率を \(a _ n\) , \(1\) 枚と \(3\) 枚である確率を \(b _ n\) とおく. ただし, \(1\) 度でも \(4\) 枚のカードが同じ色になる場合は除いて考える.
このとき \[\begin{align} a _ {n+1} =\dfrac{3}{4} b _ n & , \quad b _ {n+1} =a _ n \\ \text{∴} \quad b _ {n+2} & = \dfrac{3}{4} b _ n \end{align}\] \(b _ 0 =0\) , \(b _ 1 =1\) なので

• \(n\) が偶数のとき　\(b _ n =0\)

• \(n\) が奇数のとき　\(b _ n =\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{n-1}{2}}\)

求める確率は, \(\dfrac{1}{4} b _ {n-1} \quad ( n \geqq 2 )\) と表せるので

• \(n\) が偶数のとき　\(\underline{\dfrac{1}{4} \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{n}{2}-1}}\)

• \(n\) が奇数のとき　\(\underline{0}\)

(2)

操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後, \(2\) 色のカードが \(3\) 枚ずつとなる確率を \(p _ n\) , \(2\) 枚と \(4\) 枚である確率を \(q _ n\) , \(1\) 枚と \(5\) 枚である確率を \(r _ n\) とおく. ただし, \(1\) 度でも \(6\) 枚のカードが同じ色になる場合は除いて考える.
このとき \[\begin{align} p _ {n+1} & = \dfrac{2}{3} q _ n , \quad q _ {n+1} =p _ n +\dfrac{5}{6} r _ n , \quad r _ {n+1} =\dfrac{1}{3} q _ n \\ \text{∴} \quad q _ {n+2} & =p _ {n+1} +\dfrac{5}{6} r _ {n+1} = \dfrac{2}{3} q _ n +\dfrac{5}{18} q _ n = \dfrac{17}{18} q _ n \end{align}\] \(q _ 0 =0\) , \(q _ 1 =1\) なので,

• \(n\) が偶数のとき　\(q _ n =0\)

• \(n\) が奇数のとき　\(q _ n =\left( \dfrac{17}{18} \right)^{\frac{n-1}{2}}\)

求める確率は, \(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{6} q _ {n-2} =\dfrac{1}{18} q _ {n-2}\) （ \(n \geqq 3\) ）と表せるので

• \(n=1\) , \(n\) が偶数のとき　\(\underline{0}\)

• \(n\) が \(3\) 以上の奇数のとき　\(\underline{\dfrac{1}{18} \left( \dfrac{17}{18} \right)^{\frac{n-3}{2}}}\)

座標平面上の \(3\) 点 A \((1,0)\) , B \((-1,0)\) , C \((0,-1)\) に対し, \[ \angle \text{APC} = \angle \text{BPC} \] をみたす点 P の軌跡を求めよ. ただし \(\text{P} \neq \text{A, B, C}\) とする.

【 解 答 】

1. 1*　\(x=0\) のとき △ABP は直線 PC を対称の軸とする二等辺三角形となるから \[ y \neq -1 \]

以下の場合では, 対称性から \(x \gt 0\) について考えればよい.

2. 2*　\(y=0\) のとき

   1. (ア)　\(0 \lt x \lt 1\) のとき \[ \angle \text{APC} = 180^{\circ} - \angle \text{BPC} \gt 90^{\circ} \] なので, 不適.

   2. (イ)　\(x \gt 1\) のとき \[ \angle \text{APC} = \angle \text{BPC} \] （ \(2\) つの角が重なっている）なので, 適する.
      したがって \[ x \gt 1 \]

3. 3*　\(y \lt 0\) のとき

   1. (ア)　\(y \leqq x-1\) のとき \[ \angle \text{APC} = \angle \text{APB} +\angle \text{BPC} \gt \angle \text{BPC} \] なので, 不適.

   2. (イ)　\(y \gt x-1\) のとき
      △ABCの対称性から, \(\angle \text{APC} = \angle \text{BPC}\) となるのは, OC上の点のみで不適.

4. 4*　\(y \gt 0\) のとき \(3\) 点 A , B , C を通る円は \(C : \ x^2+y^2 = 1\) で, \(y \gt 0\) の領域は, \(C\) の上半円側にある.
   \(\text{AC} = \text{BC}\) なので, \(\angle \text{APC} = \angle \text{BPC}\) となる点は, 円周角の定理より \(C\) 上の点である.
   \(C\) 上にない点については, 円周角の定理の逆より条件をみたさず不適.
   したがって \[\begin{gather} x^2+y^2=1 \\ \text{∴} \quad y = \sqrt{1 -x^2} \end{gather}\]

1*～4*より求める点 P の軌跡は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \text{直線} : \ y \neq -1 & ( \ x=0 \text{のとき} ) \\ \text{半円} : \ y= \sqrt{1-x^2} & ( \ 0 \lt |x| \lt 1 \text{のとき} ) \\ \text{直線} : \ y=0 & ( \ |x| \gt 1 \text{のとき} ) \end{array} \right.} \] であり, 図示すると下図太線部（○点は除く）となる.

\(p\) を自然数とする. 次の関係式で定められる数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) を考える. \[ \left\{ \begin{array}{ll} a _ 1 = p , \ b _ 1 = p+1 & \\ a _ {n+1} = a _ n + p b _ n & ( n = 1, 2, 3 , \cdots ) \\ b _ {n+1} = p a _ n + (p+1) b _ n & ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \end{array} \right. \]

1. (1)　\(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対し, 次の \(2\) つの数がともに \(p^3\) で割り切れることを示せ. \[ a _ n -\dfrac{n(n-1)}{2}p^2 -np , \ b _ n -n(n-1)p^2 -np -1 \]

2. (2)　\(p\) を \(3\) 以上の奇数とする. このとき, \(a _ p\) は \(p^2\) で割り切れるが, \(p^3\) では割り切れないことを示せ.

【 解 答 】

(1)

\(u _ n = a _ n -\dfrac{n(n-1)}{2}p^2 -np\) , \(u _ n = b _ n -n(n-1)p^2 -np -1\) とおく.

1. [＊] ... 「 \(u _ n , v _ n\) は \(p^3\) で割り切れる. 」

これを, 数学的帰納法を用いて示す.

1. 1*　\(n = 1\) のとき \[\begin{align} u _ 1 & = p -0 \cdot p^2 -p = 0 , \\ v _ 1 & = p+1 -0 \cdot p^2 -p-1 = 0 \end{align}\] したがって, \(n = 1\) のとき [＊] は成立する.

2. 2*　\(n = k \ ( k \geqq 1 )\) のとき, [＊] が成立すると仮定すると \[\begin{align} u _ {k+1} & = a _ k +p b _ k -\dfrac{(k+1)k}{2} p^2 -(k+1) p \\ & = a _ k -\dfrac{k(k-1)}{2} p^2 -kp +p ( b _ k -kp -1 ) \\ & = u _ k +p v _ k +k(k-1) p^3 \end{align}\] ゆえに, \(u _ {k+1}\) は \(p^3\) で割り切れる. また \[\begin{align} v _ {k+1} & = p a _ k +(p+1) b _ k -(k+1)k p^2 -(k+1) p -1 \\ & = b _ k -k(k-1) p^2 -kp -1 +p ( a _ k +b _ k -2kp -1 ) \\ & = v _ k +p \left\{ u _ k +v _ k +\dfrac{3 k(k-1)}{2} p^2 \right\} \\ & = p u _ k +(p+1) v _ k +\dfrac{3 k(k-1)}{2} p^3 \end{align}\] \(\dfrac{3 k(k-1)}{2}\) は整数なので, \(v _ {k+1}\) は \(p^3\) で割り切れる.
   したがって, \(n = k+1\) のときも [＊] が成立する.

以上より, 自然数 \(n\) に対して \(u _ n , v _ n\) はともに \(p^3\) で割り切れる.

(2)

\[\begin{align} a _ p & = u _ p +\dfrac{p(p-1)}{2} p^2 -p^2 \\ & = u _ p +p^2 \underline{\left( p \cdot \dfrac{p-1}{2} -1 \right)} _ {[1]} \\ \end{align}\] \(p\) は奇数なので \(\dfrac{p-1}{2}\) は整数であり, 下線部 [1] は \(p\) の倍数ではない.
(1) の結果を合わせれば, \(a _ p\) は \(p^2\) で割り切れるが, \(p^3\) では割り切れない.

多項式 \(f(x)\) について, 次の条件 (i) , (ii) , (iii) を考える.

1. (i)　\(x^4 f \left( \dfrac{1}{x} \right) = f(x)\)

2. (ii)　\(f(1-x) = f(x)\)

3. (iii)　\(f(1) = 1\)

このとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　条件 (i) をみたす多項式 \(f(x)\) の次数は \(4\) 以下であることを示せ.

2. (2)　条件 (i) , (ii) , (iii) をすべてみたす多項式 \(f(x)\) を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\(f(x) = a _ n x^n + \cdots +a _ 1 x +a _ 0 \ ( a _ n \neq 0 )\) とおくと \[ x^4 f \left( \dfrac{1}{x} \right) = a _ 0 x^4 + \cdots + a _ n x^{4-n} \] これが多項式となるので, 最後の項の次数に着目して \[\begin{align} 4-n & \geqq 0 \\ \text{∴} \quad n & \leqq 4 \end{align}\] よって, \(f(x)\) の次数は \(4\) 以下である.

(2)

(1) の結果より, \(f(x) = a _ 4 x^4 +a _ 3 x^3 +a _ 2 x^2 +a _ 1 x +a _ 0\) とおく. \[ x^4 f \left( \dfrac{1}{x} \right) = a _ 0 x^4 +a _ 1 x^3 +a _ 2 x^2 +a _ 3 x +a _ 4 \] なので, 条件 (i) より \[ a _ 3 = a _ 1 , \ a _ 4 = a _ 0 \] 条件 (ii) , (iii) より, \(f(0) = f(1) =1\) なので \[\begin{align} f(0) & = a _ 0 = 1 , \\ f(1) & = 2 +2 a _ 1 +a _ 2 = 1 \\ \text{∴} \quad a _ 2 & = -2 a _ 1 -1 \quad ... [1] \end{align}\] さらに, \(3\) 次の項に着目して \[\begin{align} f(1-x) & = (1-x)^4 +a _ 1 (1-x)^3 + \cdots \\ & = x^4 +( -a _ 1 -4 ) x^3 + \cdots \end{align}\] なので, 条件 (ii) より係数を比較して \[\begin{align} -a _ 1 -4 & = a _ 1 \\ \text{∴} \quad a _ 1 & = -2 \end{align}\] [1] に代入して \[ a _ 2 = 4-1 = 3 \] よって \[ f(x) = \underline{x^4 -2x^3 +3x^2 -2x +1} \] これは確かに条件 (ii) を満たしている.

\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする. 平面上の \(\triangle \text{OA} {} _ 1 \text{A} {} _ 2\) は \(\angle \text{OA} {} _ 2 \text{A} {} _ 1 = 90^{\circ}\) , \(\text{OA} {} _ 1 = 1\) , \(\text{A} {} _ 1 \text{A} {} _ 2 = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) をみたすとする. \(\text{A} {} _ 2\) から \(\text{OA} {} _ 1\) へ垂線をおろし, 交点を \(\text{A} {} _ 3\) とする. \(\text{A} {} _ 3\) から \(\text{OA} {} _ 2\) へ垂線をおろし, 交点を \(\text{A} {} _ 4\) とする. 以下同様に, \(k=4, 5, \cdots\) について, \(\text{A} {} _ k\) から \(\text{OA} {} _ {k-1}\) へ垂線をおろし, 交点を \(\text{A} {} _ {k+1}\) として, 順番に \(\text{A} {} _ 5 , \text{A} {} _ 6 , \cdots\) を定める. \(\overrightarrow{h _ k} = \overrightarrow{\text{A} {} _ k \text{A} {} _ {k+1}}\) とおくとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(k=1, 2, \cdots\) のとき, ベクトル \(\overrightarrow{h _ k}\) と \(\overrightarrow{h _ {k+1}}\) の内積 \(\overrightarrow{h _ k} \cdot \overrightarrow{h _ {k+1}}\) を \(n\) と \(k\) で表せ.

2. (2)　\(S _ n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \overrightarrow{h _ k} \cdot \overrightarrow{h _ {k+1}}\) とおくとき, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n\) を求めよ. ここで, 自然対数の底 \(e\) について, \(e = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( 1 +\dfrac{1}{n} \right)^n\) であることを用いてもよい.

【 解 答 】

(1)

\(\angle \text{A} {} _ 1 \text{OA} {} _ 2 = \theta\) とおくと \[ \sin \theta = \dfrac{1}{\sqrt{n}} \] \(\triangle \text{A} {} _ {k+1} \text{A} {} _ k \text{A} {} _ {k+2} \sim \triangle \text{OA} {} _ 1 \text{A} {} _ 2\) なので \[ \left| \overrightarrow{h _ {k+1}} \right| = \left| \overrightarrow{h _ {k}} \right| \cos \theta \] \(\left| \overrightarrow{h _ 1} \right| = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) なので \[ \left| \overrightarrow{h _ {k}} \right| = \dfrac{\cos^{k-1}}{\sqrt{n}} \] よって \[\begin{align} \overrightarrow{h _ k} \cdot \overrightarrow{h _ {k+1}} & = \left| \overrightarrow{h _ {k}} \right| \left| \overrightarrow{h _ {k+1}} \right| \cos ( \pi -\theta ) \\ & = -\dfrac{\cos^{k-1}}{\sqrt{n}} \cdot \dfrac{\cos^{k}}{\sqrt{n}} \cdot \cos \theta \\ & = -\dfrac{\cos^{2k} \theta}{n} \\ & = -\dfrac{\left( 1 -\sin^2 \theta \right)^k}{n} \\ & = \underline{- \dfrac{1}{n} \left( 1 -\dfrac{1}{n} \right)^k} \end{align}\]

(2)

\[\begin{align} S _ n & = -\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \dfrac{1}{n} \left( 1 -\dfrac{1}{n} \right)^k \\ & = -\dfrac{1}{n} \left( 1 -\dfrac{1}{n} \right) \cdot \dfrac{1 -\left( 1 -\frac{1}{n} \right)^n}{1 -\left( 1 -\frac{1}{n} \right)} \\ & = -\left( 1 -\dfrac{1}{n} \right) \left\{ 1 -\left( 1 -\dfrac{1}{n} \right) \left( \dfrac{n-1}{n} \right)^{n-1} \right\} \\ & = -\left( 1 -\dfrac{1}{n} \right) \left\{ 1 -\left( 1 -\dfrac{1}{n} \right) \cdot \dfrac{1}{\left( 1 -\frac{1}{n-1} \right)^{n-1}} \right\} \\ & \rightarrow -1 \left( 1 -1 \cdot \dfrac{1}{e} \right) \quad ( \ n \rightarrow \infty \text{のとき} ) \\ & = -1+\dfrac{1}{e} \end{align}\] よって \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n = \underline{-1+\dfrac{1}{e}} \] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/thr200802/feed/ 0 https://www.roundown.net/nyushi/thr200803/ https://www.roundown.net/nyushi/thr200803/#respond Wed, 12 Dec 2012 11:36:41 +0000 http://www.roundown.net/nyushi/?p=520

\(\theta\) を \(0 \lt \theta \lt \dfrac{2 \pi}{3}\) の範囲にある実数とし, 空間の \(4\) 点 O , A , B , C が, \(\text{OA} = \text{OB} = \text{OC} = 1\) かつ \(\angle \text{AOB} = \angle \text{BOC} = \angle \text{COA} = \theta\) をみたすとする. このとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　△ABC の重心を G とするとき, AG と OG をそれぞれ \(\theta\) で表せ.

2. (2)　\(\theta\) を動かしたとき, O , A , B , C を頂点とする四面体の体積の最大値を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\[\begin{align} \text{AB} & = \text{BC} =\text{CA} =\sqrt{1^2 +1^2 -2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos \theta} \\ & = \sqrt{2 ( 1 -\cos \theta )} \end{align}\] なので, △ABC は正三角形だから \[\begin{align} \text{AG} & = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{AB} \\ & = \underline{\sqrt{\dfrac{2( 1 -\cos \theta )}{3}}} \end{align}\] また, 三平方の定理より \[\begin{align} \text{OG} & = \sqrt{1^2 -\dfrac{2( 1 -\cos \theta )}{3}} \\ & = \underline{\sqrt{\dfrac{1 +2 \cos \theta}{3}}} \end{align}\]

(2)

△ABC の面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \dfrac{1}{2} \text{AB} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{AB} \\ & = \dfrac{\sqrt{3} ( 1 -\cos \theta )}{2} \end{align}\] 四面体 OABC の体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = \dfrac{1}{3} S \cdot \text{OG} \\ & = \dfrac{( 1 -\cos \theta ) \sqrt{1 +2 \cos \theta}}{6} \quad ... [1] \end{align}\] [1] の分子に着目して, \(f(t) = (1-t)^2 (1+2t) \ \left( -\dfrac{1}{2} \lt t \lt 0 \right)\) とおくと \[\begin{align} f'(t) & = 2(t-1) (2t+1) +(t-1)^2 \cdot 2 \\ & = 6t (t-1) \end{align}\] したがって, \(f(t)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} t & \left( -\frac{1}{2} \right) \ & \cdots & 0 & \cdots & (1) \\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array} \] したがって, \(f(t)\) の最大値は \[ f(0) = 1 \] よって, \(V\) の最大値は \[ \dfrac{1}{6} f(0) = \underline{\dfrac{1}{6}} \quad \left( \theta = \dfrac{\pi}{2} \text{のとき} \right) \] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/thr200803/feed/ 0 https://www.roundown.net/nyushi/thr200804/ https://www.roundown.net/nyushi/thr200804/#respond Wed, 12 Dec 2012 11:37:25 +0000 http://www.roundown.net/nyushi/?p=521

点 P が次のルール (i) , (ii) に従って数直線上を移動するものとする.

1. (i)　\(1, 2, 3, 4, 5, 6\) の目が同じ割合で出るサイコロを振り, 出た目の数を \(k\) とする. P の座標 \(a\) について, \(a \gt 0\) ならば座標 \(a-k\) の点へ移動し, \(a \lt 0\) ならば座標 \(a+k\) の点へ移動する.

2. (ii)　原点に移動したら終了し, そうでなければ (i) を繰り返す.

このとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　P の座標が \(1, 2, \cdots , 6\) のいずれかであるとき, ちょうど \(3\) 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ.

2. (2)　P の座標が \(1, 2, \cdots , 6\) のいずれかであるとき, ちょうど \(m\) 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ.

3. (3)　P の座標が \(8\) であるとき, ちょうど \(n\) 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ.

【 解 答 】

(1)

P の座標を \(p\) と表す.
\(1 \leqq |p| \leqq 6\) のとき

• \(k = |p|\) となれば終了する.

• それ以外の場合は, \(1 \leqq |p| \leqq 5\) の点に移動する.

よって, 求める確率は \[ \left( \dfrac{5}{6} \right)^2 \dfrac{1}{6} =\underline{\dfrac{25}{216}} \]

(2)

(1) と同様に考えればよいので, 求める確率は \[ \left( \dfrac{5}{6} \right)^{m-1} \dfrac{1}{6} =\underline{\dfrac{5^{m-1}}{6^m}} \]

(3)

1. 1*　\(n = 1\) のとき, 終了することはない.

2. 2*　\(n = 2\) のとき
   \(1\) 回目に \(2\) ～ \(6\) が出て, \(2\) 回目に \(p\) が出ればよいので \[ \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{36} \]

3. 3*　\(n \geqq 3\) のとき
   \(2\) 回目までに終了しない場合は, \(n-2\) 回目で終了すればよいので, (2) の結果を用いて \[ \left( 1 -\dfrac{5}{36} \right) \cdot \dfrac{5^{n-3}}{6^{n-2}} = \dfrac{31 \cdot 5^{n-3}}{6^n} \]

以上より \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 0 & ( \ n=1 \text{のとき} ) \\ \dfrac{5}{36} & ( \ n=2 \text{のとき} ) \\ \dfrac{31 \cdot 5^{n-1}}{6^n} & ( \ n \geqq 3 \text{のとき} ) \\ \end{array} \right.} \] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/thr200804/feed/ 0