\(x\) の \(3\) 次関数 \(f(x) = ax^3+bx^2+cx+d\) が, \(3\) つの条件 \[ f(1) = 1 , \ f(-1) = -1 , \ \displaystyle\int _ {-1}^{1} ( bx^2+cx+d ) \, dx = 1 \] を全て満たしているとする. このような \(f(x)\) の中で定積分 \[ I = \displaystyle\int _ {-1}^{\frac{1}{2}} \left\{ f''(x) \right\}^2 \, dx \] を最小にするものを求め, そのときの \(I\) の値を求めよ. ただし, \(f''(x)\) は \(f'(x)\) の導関数を表す.

【 解 答 】

条件より \[\begin{align} f(1) & = a+b+c+d = 1 , \\ f(-1) & = -a+b-c+d = -1 \end{align}\] \(2\) 式を加減すると \[\begin{align} b+d = 0 & , \ a+c = 1 \\ \text{∴} \quad d = -b & , \ c = 1-a \quad ... [1] \end{align}\] さらに \[\begin{align} \displaystyle\int _ {-1}^{1} ( bx^2+cx+d ) \, dx & = 2 \left[ \dfrac{bx^3}{3} +dx \right] _ {0}^{1} \\ & = \dfrac{2b}{3} +2d \\ & = -\dfrac{4b}{3} \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \end{align}\] なので, 条件より \[\begin{align} -\dfrac{4b}{3} & = 1 \\ \text{∴} \quad b & = -\dfrac{3}{4} \end{align}\] [1] より \[ d = \dfrac{3}{4} \] これらを用いると \[\begin{align} f'(x) & = 3ax^2 +2bx +c , \\ f''(x) & = 6ax +2b = \dfrac{3}{2} ( 4ax-1 ) \end{align}\] なので \[\begin{align} I & = \dfrac{9}{4} \displaystyle\int _ {-1}^{\frac{1}{2}} ( 4ax-1 )^2 \, dx \\ & = \dfrac{9}{4} \left[ \dfrac{16a^2x^3}{3} -4ax^2 +x \right] _ {-1}^{\frac{1}{2}} \\ & = \dfrac{9}{4} \left\{ \left( \dfrac{2a^2}{3} -a +\dfrac{1}{2} \right) -\left( -\dfrac{16a^2}{3} -4a -1 \right) \right\} \\ & = \dfrac{9}{4} \left( 6a^2 +3a +\dfrac{3}{2} \right) \\ & = \dfrac{9}{4} \left\{ 6 \left( a +\dfrac{1}{4} \right)^2 +\dfrac{9}{8} \right\} \\ & \geqq \dfrac{9}{4} \cdot \dfrac{9}{8} = \dfrac{81}{32} \end{align}\] 等号成立は, \(a = -\dfrac{1}{4}\) のときである.
[1] より, \(c = \dfrac{5}{4}\) .
以上より, \(I\) は \[ f(x) = \underline{-\dfrac{1}{4}x^3 -\dfrac{3}{4}x^2 +\dfrac{5}{4}x +\dfrac{3}{4}} \] のとき, 最小値 \(\underline{\dfrac{81}{32}}\) をとる.

実数 \(x\) の小数部分を, \(0 \leqq y \lt 1\) かつ \(x-y\) が整数となる実数 \(y\) のこととし, これを記号 \(\langle x \rangle\) で表す. 実数 \(a\) に対して, 無限数列 \(\{ a _ n \}\) の各項 \(a _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )\) を次のように順次定める.

1. (i)　\(a _ 1 = \langle a \rangle\)

2. (ii)　\(\left\{ \begin{array}{ll} a _ {n+1} = \left\langle \dfrac{1}{a _ n} \right\rangle & \left( \ a _ n \neq 0 \text{のとき} \ \right) \\ \ a _ {n+1} = 0 & \left( \ a _ n = 0 \text{のとき} \ \right) \end{array} \right.\)

1. (1)　\(a = \sqrt{2}\) のとき, 数列 \(\{ a _ n \}\) を求めよ.

2. (2)　任意の自然数 \(n\) に対して \(a _ n = a\) となるような \(\dfrac{1}{3}\) 以上の実数 \(a\) をすべて求めよ.

【 解 答 】

(1)

\(1 \lt a \lt 2\) なので \[ a _ 1 = \sqrt{2} -1 \] \(a _ k = \sqrt{2} -1 \quad ( k = 1 , 2 , \cdots )\) と仮定すると, \(\dfrac{1}{\sqrt{2} -1} = \sqrt{2} +1\) であり, \(2 \lt \sqrt{2} +1 \lt 3\) なので \[ a _ {k+1} = \left( \sqrt{2} +1 \right) -2 = \sqrt{2} -1 \] したがって \(n \geqq 1\) のとき \[ a _ n = \underline{\sqrt{2} -1} \]

(2)

条件をみたす \(a\) は, ある負でない整数 \(r\) を用いた以下の式を満たす. \[\begin{align} \dfrac{1}{a} & = a+r \\ \text{∴} \quad a^2 +ra -1 & = 0 \quad ... [1] \end{align}\] \(\langle a \rangle\) を与える式および \(a \geqq \dfrac{1}{3}\) より \[\begin{align} \dfrac{1}{3} & \leqq a \lt 1 \\ \text{∴} \quad 1 & \lt \dfrac{1}{a} \leqq 3 \end{align}\] したがって整数 \(r\) の候補は, \(r = 0 , 1 , 2\) のみ.
それぞれの場合について, [1] より

1. 1*　\(r=0\) のとき \[ a^2 -1 = 0 \\ \text{∴} \quad a = 1 \] なので不適

2. 2*　\(r=1\) のとき \[ a^2 +a -1 = 0 \\ \text{∴} \quad a = \dfrac{\sqrt{5} -1}{2} \]

3. 3*　\(r=2\) のとき \[ a^2 +2a -1 = 0 \\ \text{∴} \quad a = \sqrt{2} -1 \]

以上より, 求める \(a\) の値は \[ a = \underline{\dfrac{\sqrt{5} -1}{2} , \sqrt{2} -1} \] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/tkb201102/feed/ 0 https://www.roundown.net/nyushi/tkb201103/ https://www.roundown.net/nyushi/tkb201103/#respond Wed, 26 Dec 2012 16:52:15 +0000 http://www.roundown.net/nyushi/?p=536

\(p , q\) を \(2\) つの正の整数とする. 整数 \(a , b , c\) で条件 \[ -q \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p , \quad b \leqq c \leqq a \] を満たすものを考え, このような \(a , b , c\) を \([ a , b ; c ]\) の形に並べたものを \(( p , q )\) パターンと呼ぶ. 各 \(( p , q )\) パターン \([ a , b ; c ]\) に対して \[ w \left( [ a , b ; c ] \right) = p -q -( a+b ) \] とおく.

1. (1)　\(( p , q )\) パターンのうち, \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = -q\) となるものの個数を求めよ. また, \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = p\) となる \(( p , q )\) パターンの個数を求めよ.

以下 \(p=q\) の場合を考える.

2. (2)　\(s\) を整数とする. \(( p , p )\) パターンで \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = -p+s\) となるものの個数を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\(w \left( [ a , b ; c ] \right) = p -q -( a+b ) = -q\) のとき \[ a+b = p \] \(b \leqq 0 \leqq a \leqq p\) なので \[ ( a , b ) = ( p , 0 ) \] \(b \leqq c \leqq a\) すなわち \(0 \leqq c \leqq p\) なので, \(c = 0 , 1 , \cdots p\) .
よって, \(( p , q )\) パターンは \(\underline{p+1}\) 個.
また, \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = p -q -( a+b ) = p\) のとき \[ a+b = -q \] \(-q \leqq b \leqq 0 \leqq a\) なので \[ ( a , b ) = ( 0 , -q ) \] \(b \leqq c \leqq a\) すなわち \(-q \leqq c \leqq 0\) なので, \(c = -q , -q+1 , \cdots 0\) .
よって, \(( p , q )\) パターンは \(\underline{q+1}\) 個.

(2)

\(p=q\) かつ \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = -p+s\) のとき \[ a+b = -p+s \]

1. 1*　\(0 \leqq s \leqq p\) のとき
   \(-p \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p\) なので \[ ( a , b ) = ( k , -p+s-k ) \quad ( k = 0 , 1 , \cdots , s ) \] \(b \leqq c \leqq a\) すなわち \(-p+s-k \leqq c \leqq k\) なので, \(c = -p+s-k , -p+s+k-1 , \cdots , k\) だから, \(c\) の値は \[ k -( -p+s-k ) +1 = 2k+p-s+1 \ \text{通り} \] ゆえに, \(( p , p )\) パターンは \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=0}^s ( 2k+p-s+1 ) & = s( s+1 ) +( s+1 )( p-s+1 ) \\ & = ( p+1 )( s+1 ) \ \text{個} \end{align}\]

2. 2*　\(p+1 \leqq s \leqq 2p\) のとき
   \(-p \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p\) なので \[ ( a , b ) = ( s-p+k , -k ) \quad ( k = 0 , 1 , \cdots , 2p-s ) \] \(b \leqq c \leqq a\) すなわち \(-k \leqq c \leqq -p+s+k\) なので \(c = -k , -k+1 , \cdots , -p+s-k\) だから, \(c\) の値は \[ ( -p+s+k ) -( -k ) +1 = 2k-p+s+1 \ \text{通り} \] ゆえに, \(( p , p )\) パターンは \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{2p-s} & ( 2k-p+s+1 ) \\ & = ( 2p-s )( 2p-s+1 ) +( 2p-s+1 )( s-p+1 ) \\ & = ( p+1 )( 2p-s+1 ) \quad \text{個} \end{align}\]

3. 3*　\(s \lt 0 , 2p \lt s\) のとき
   \(( p , p )\) パターンは \(0\) 個.

1*～3*より \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} ( p+1 )( s+1 ) & ( \ 0 \leqq s \leqq p \ \text{のとき} \ ) \\ ( p+1 )( 2p-s+1 ) & ( \ p+1 \leqq s \leqq 2p \ \text{のとき} \ ) \\ 0 & ( \ s \lt 0 , 2p \lt s \ \text{のとき} \ ) \end{array} \right.} \] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/tkb201103/feed/ 0 https://www.roundown.net/nyushi/tkb201104/ https://www.roundown.net/nyushi/tkb201104/#respond Wed, 26 Dec 2012 16:52:53 +0000 http://www.roundown.net/nyushi/?p=537

座標平面上の \(1\) 点 P \(\left( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{4} \right)\) をとる. 放物線 \(y = x^2\) 上の \(2\) 点 Q \(( \alpha , \alpha^2 )\) , R \(( \beta , \beta^2 )\) を, \(3\) 点 P , Q , R が QR を底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき, △PQR の重心 G \(( X , Y )\) の軌跡を求めよ.

【 解 答 】

点 G は △PQR の重心なので \[\begin{align} X = \dfrac{\alpha +\beta +\dfrac{1}{2}}{3} & , \quad Y = \dfrac{\alpha^2 +\beta^2 +\dfrac{1}{4}}{3} \\ \text{∴} \quad \alpha +\beta = 3X -\dfrac{1}{2} & , \quad \alpha^2 +\beta^2 = 3Y -\dfrac{1}{4} \quad ... [1] \end{align}\] \(\text{PQ} = \text{PR}\) なので \[\begin{align} \left( \alpha -\dfrac{1}{2} \right)^2 +\left( \alpha^2 -\dfrac{1}{4} \right)^2 = \left( \beta -\dfrac{1}{2} \right)^2 & +\left( \beta^2 -\dfrac{1}{4} \right)^2 \quad ... [2] \\ ( \alpha -\beta ) ( \alpha +\beta -1 ) +( \alpha^2 -\beta^2 ) \left( \alpha^2 +\beta^2 -\dfrac{1}{2} \right) & = 0 \\ ( \alpha +\beta -1 ) + ( \alpha +\beta ) \left( \alpha^2 +\beta^2 -\dfrac{1}{2} \right) & = 0 \quad ( \ \text{∵} \ \alpha -\beta \neq 0 \ ) \\ ( \alpha +\beta ) \left( \alpha^2 +\beta^2 +\dfrac{1}{2} \right) -1 & = 0 \quad ... [3] \end{align}\] [1] を代入すると \[\begin{align} \left( 3X -\dfrac{1}{2} \right) \left( 3Y +\dfrac{1}{4} \right) & = 1 \\ \text{∴} \quad \left( X -\dfrac{1}{6} \right) \left( Y +\dfrac{1}{12} \right) & = \dfrac{1}{9} \end{align}\] 続いて, \(X\) の取り得る値の範囲について考える.
条件より, \(\alpha = \beta\) となることはないので, \(\alpha \neq \beta\) となるための \(X\) の条件を求めればよい.
\(s = \alpha +\beta\) , \(t = \alpha^2 +\beta^2\) とおく.
[1] より \[ \alpha \beta = \dfrac{s^2 -t}{2} \] なので, \(\alpha\) , \(\beta\) は \(2\) 次方程式 \(z^2 -sz +\dfrac{s^2 -t}{2} = 0\) の異なる \(2\) 解なので, 判別式 \(D\) について \[\begin{align} D = s^2 -4 \cdot \dfrac{s^2 -t}{2} & =-s^2 +2t \gt 0 \\ \text{∴} \quad s^2 & \lt 2t \quad ... [4] \end{align}\] [3] より \[\begin{align} s \left( t +\dfrac{1}{2} \right) & = 1 \\ \text{∴} \quad t & = \dfrac{1}{s} -\dfrac{1}{2} \end{align}\] \(t \gt 0\) なので, \(0 \lt s \lt 2\) .
[4] に代入して \[ s^2 \lt \dfrac{2}{s} -1 \\ s^3 +s -2 \lt 0 \\ ( s-1 )( s^2 +s +2 ) \lt 0 \\ \text{∴} \quad 0 \lt s \lt 1 \] したがって \[ 0 \lt 3X -\dfrac{1}{2} \lt 1 \\ \text{∴} \quad \dfrac{1}{6} \lt X \lt \dfrac{1}{2} \] 以上より求める軌跡は \[ \underline{\text{双曲線} : \ \left( x -\dfrac{1}{6} \right) \left( y +\dfrac{1}{12} \right) = \dfrac{1}{9} \quad \left( \dfrac{1}{6} \lt x \lt \dfrac{1}{2} \right)} \] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/tkb201104/feed/ 0 https://www.roundown.net/nyushi/thr200905/ https://www.roundown.net/nyushi/thr200905/#respond Fri, 07 Dec 2012 14:41:19 +0000 http://www.roundown.net/nyushi/?p=510

\(a, b, c, d, p, q\) は \(ad-bc \gt 0 , \ p \gt 0 , \ q \gt 0\) を満たす実数とする. \(2\) つの行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) と \(P = \left( \begin{array}{cc} p & 0 \\ 0 & q \end{array} \right)\) が \(APA = P^2\) を満たすとする. このとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(P^3 A = A P^3\) が成り立つことを示せ.

2. (2)　\(A\) を \(p\) と \(q\) で表せ.

【 解 答 】

(1)

\[ APA = P^2 \quad ... [1] \] \(ad-bc \neq 0\) より \(A^{-1}\) は存在する.
[1] の両辺に右から \(A^{-1}\) を掛けると \[ AP = P^2 A^{-1} \quad ... [2] \] よって, [1] の両辺に [2] の各辺を右から掛ければ \[\begin{align} P^2 A^{-1} APA & = AP P^2 \\ \text{∴} \quad P^3 A & = A P^3 \end{align}\]

(2)

(1) の結果より \[\begin{align} \left( \begin{array}{cc} p^3 & 0 \\ 0 & q^3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} p^3 & 0 \\ 0 & q^3 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{cc} a p^3 & b p^3 \\ c q^3 & d q^3 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} a p^3 & b q^3 \\ c p^3 & d q^3 \end{array} \right) \\ \text{∴} \quad b ( p^3 -q^3 ) = 0 , & \ c ( p^3 -q^3 ) = 0 \end{align}\] これを満たすのは \[ p=q \ \text{または} \ b=c=0 \]

1. 1*　\(p=q\) のとき
   \(P = pE\) と表せて, [1] に代入すると \[\begin{align} p A^2 & = p^2 E \\ \text{∴} \quad A^2 -p E & = 0 \quad ( \ \text{∵} \ p \neq 0 \ ) \end{align}\] ケーリー・ハミルトンの定理より \[ ad-bc = -p \lt 0 \] これは条件に矛盾するので, 不適である.

2. 2*　\(b=c=0\) のとき
   \(A = \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & d \end{array} \right)\) と表せて, \(ad \gt 0 \quad ... [3]\) . \[ A^{-1} = \dfrac{1}{ad} \left( \begin{array}{cc} d & 0 \\ 0 & a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{a} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{d} \end{array} \right) \] これらを [2] に代入すれば \[\begin{align} \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} p & 0 \\ 0 & q \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} p^2 & 0 \\ 0 & q^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{a} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{d} \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{cc} ap & 0 \\ 0 & dq \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} \dfrac{p^2}{a} & 0 \\ 0 & \dfrac{q^2}{d} \end{array} \right) \\ \text{∴} \quad ap = \dfrac{p^2}{a} , & \ dq = \dfrac{q^2}{d} \end{align}\] \(p \neq 0 , \ q \neq 0\) なので \[\begin{align} a^2 = p , & \ d^2 = q \\ \text{∴} \quad a = \pm \sqrt{p} , & \ d = \pm \sqrt{q} \end{align}\] ただし, [3] より \(a\) と \(d\) は同符号である.

以上より \[ A = \underline{\left( \begin{array}{cc} \pm \sqrt{p} & 0 \\ 0 & \pm \sqrt{q} \end{array} \right) \quad ( \text{複号同順} )} \] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/thr200905/feed/ 0 https://www.roundown.net/nyushi/thr201101/ https://www.roundown.net/nyushi/thr201101/#respond Sat, 24 Nov 2012 05:41:38 +0000 http://www.roundown.net/nyushi/?p=479

実数 \(a\) に対し, 不等式 \[ y \leqq 2ax -a^2 +2a +2 \] の表す座標平面上の領域を \(D(a)\) とおく.

1. (1)　\(-1 \leqq a \leqq 2\) を満たすすべての \(a\) に対し \(D(a)\) の点となるような点 \((p,q)\) の範囲を図示せよ.

2. (2)　\(-1 \leqq a \leqq 2\) を満たすいずれかの \(a\) に対し \(D(a)\) の点となるような点 \((p,q)\) の範囲を図示せよ.

【 解 答 】

(1) \[ y \leqq 2ax -a^2 +2a +2 \quad ... [1] \ . \] 点 \((p,q)\) が [1] をみたすとき \[ a^2 -2(p+1)a +q -2 \leqq 0 \quad ... [2] \ . \] [2] の右辺を \(a\) の関数とみなして, \(f(a)\) とおくと \[ f(a) = \{ a-(p+1) \}^2 +q -p^2 -2p -3 \ . \] これは下に凸の \(2\) 次関数である.
[2] が \(-1 \leqq a \leqq 2\) において常に成立する条件は \[\begin{align} f(-1) \leqq 0 \ & \text{かつ} \ f(2) \leqq 0 \\ 2p+q+1 \leqq 0 \ & \text{かつ} \ -4p+q-2 \leqq 0 \\ \text{∴} \quad q \leqq -2p-1 \ & \text{かつ} \ q \leqq 4p+2 \ . \end{align}\] よって, 求める領域は下図斜線部（境界含む）.

(2)

1. 1*　\(f(-1) \leqq 0\) または \(f(2) \leqq 0\)

2. 2*　\(f(-1) \gt 0\) , \(f(2) \gt 0\) , \(f(p+1) \leqq 0\) , \(-1 \leqq p+1 \leqq 2\)

のいずれかである.

1. 1* のとき
   (1) の途中経過より \[ q \leqq -2p-1 \ \text{または} \ q \leqq 4p+2 \ . \]

2. 2*のとき \[ q \gt -2p-1 , \ q \gt 4p+2 , \ q \leqq p^2 +2p +3 , \ -2 \leqq p \leqq 1 \ . \]

よって, 求める領域は下図斜線部（境界含む）.

\(a\) を実数とする. 円 \(C\) は点 \((a, -a)\) で直線 \(y = -x\) を接線にもち, 点 \((0,1)\) を通るものとする. \(C\) の中心を P \((X,Y)\) として, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(X , Y\) を \(a\) を用いて表せ.

2. (2)　\(a\) が動くときの点Pの軌跡と直線 \(y = 1\) で囲まれる図形の面積を求めよ.

【 解 答 】

(1)

円 \(C\) は, 点 Pと点 \((1,0)\) を通るので \[\begin{align} (X-a)^2 +(Y+a)^2 & = X^2 +(Y-1)^2 \\ -2aX +a^2 +2aY +a^2 & = -2Y +1 \\ \text{∴} \quad 2aX -2(a+1)Y -2a^2 +1 & = 0 \quad ... [1] \ . \end{align}\] 点 P は接点 \((a, -a)\) を通る傾き \(1\) の直線上にあるので \[ Y = X-2a \quad ... [2] \ . \] [1] に [2] を代入して \[\begin{align} 2aX -2(a+1)(X-2a) -2a^2 +1 & =0 \\ -2X +4a^2 +4a -2a^2 +1 & = 0 \\ \text{∴} \quad X = \underline{a^2 +2a +\dfrac{1}{2}} & \ . \end{align}\] [2] より \[ Y = \underline{a^2 +\dfrac{1}{2}} \ . \]

(2)

(1) の結果より \[\begin{align} Y & = \left( \dfrac{X-Y}{2} \right)^2 +\dfrac{1}{2} \\ (X-Y)^2 & = 2(Y-2) \ . \end{align}\] 両辺の平方根をとって \[\begin{align} X-Y & = \pm \sqrt{2(2Y-1)} \\ \text{∴} \quad X & = Y \pm \sqrt{2(2Y-1)} \ . \end{align}\] \(Y = 1\) とおくと \[ a = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ . \] であり, このとき \[ X = 1 \pm \sqrt{2} \ . \] したがって, P の軌跡と直線 \(y=1\) に囲まれる図形は下図斜線部のようになる.

よって, 求める面積 \(S\) は \[ S = \displaystyle\int _ {1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}} (1-Y) \, dX \ . \] ここで, (1) の結果より \[ \dfrac{dX}{da} =2(a+1) \ . \] また \[ \begin{array}{c|ccc} x & 1-\sqrt{2} & \rightarrow & 1+\sqrt{2} \\ \hline a & -\dfrac{\sqrt{2}}{2} & \rightarrow & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \] なので \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ {-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( \dfrac{1}{2} -a^2 \right) \cdot 2(a+1) \, da \\ & = 2 \displaystyle\int _ {0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} ( 1 -2a^2 ) \, da \\ & = 2 \left[ a -\dfrac{2 a^3}{3} \right] _ {0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ & = \sqrt{2} \left( 1 -\dfrac{1}{3} \right) \\ & = \underline{\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}} \ . \end{align}\] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/thr201102/feed/ 0 https://www.roundown.net/nyushi/thr201103/ https://www.roundown.net/nyushi/thr201103/#respond Sun, 25 Nov 2012 00:32:05 +0000 http://www.roundown.net/nyushi/?p=487

先生と \(3\) 人の生徒 A , B , C がおり, 玉の入った箱がある. 箱の中には最初, 赤玉 \(3\) 個, 白玉 \(7\) 個, 全部で \(10\) 個の玉が入っている. 先生がサイコロをふって, \(1\) の目が出たら A が, \(2\) または \(3\) の目が出たら B が, その他の目が出たら C が箱の中から \(1\) つだけ玉を取り出す操作を行う. 取り出した玉は箱の中に戻さず, 取り出した生徒のものとする. この操作を続けて行うものとして以下の問いに答えよ.
　ただし, サイコロの \(1\) から \(6\) の目の出る確率は等しいものとし, また, 箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする.

1. (1)　\(2\) 回目の操作が終わったとき, A が \(2\) 個の赤玉を手に入れている確率を求めよ.

2. (2)　\(2\) 回目の操作が終わったとき, B が少なくとも \(1\) 個の赤玉を手に入れている確率を求めよ.

3. (3)　\(3\) 回目の操作で, C が赤玉を取り出す確率を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\(1\) 回目, \(2\) 回目ともに A が赤玉を手に入れればよいので, 求める確率は \[ \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{2}{9} = \underline{\dfrac{1}{540}} \ . \]

(2)

考えられる場合は以下の \(3\) 通りがある.

1. 1*　\(1\) 回目で B が赤玉を手に入れるときで, その確率は \[ \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{10} = \dfrac{1}{10} \ . \]

2. 2*　\(1\) 回目で A か C が赤玉を手に入れ, \(2\) 回目で B が赤玉を手に入れるとき \[ \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{2}{135} \ . \]

3. 3*　\(1\) 回目で A か C が白玉を手に入れ, \(2\) 回目で B が赤玉を手に入れるとき \[ \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{7}{270} \ . \]

以上より, 求める確率は \[ \dfrac{1}{10} +\dfrac{2}{135} +\dfrac{7}{270} =\underline{\dfrac{26}{135}} \ . \]

(3)

\(2\) 回目までに取り出される玉の組合せによって, \(3\) 通りに分けて考える.

1. 1*　\(2\) 回とも赤玉が取り出されて, \(3\) 回目で C が赤玉を手に入れる確率は \[ \dfrac{{} _ {3} \text{C} {} _ 2}{{} _ {10} \text{C} {} _ 2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{240} \ . \]

2. 2*　赤玉と白玉が \(1\) 回ずつ取り出されて, \(3\) 回目で C が赤玉を手に入れる確率は \[ \dfrac{{} _ {3} \text{C} {} _ 1 \cdot {} _ {7} \text{C} {} _ 1}{{} _ {10} \text{C} {} _ 2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{8} = \dfrac{7}{120} \ . \]

3. 3*　\(2\) 回とも白玉が取り出されて, \(3\) 回目で C が赤玉を手に入れる確率は \[ \dfrac{{} _ {7} \text{C} {} _ 2}{{} _ {10} \text{C} {} _ 2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{7}{80} \ . \]

以上より, 求める確率は \[ \dfrac{1}{240} +\dfrac{7}{120} +\dfrac{7}{80} =\underline{\dfrac{3}{20}} \ . \] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/thr201103/feed/ 0