2016年 - 大学入試数学の資料集

一橋大2016：第1問

roundown — Wed, 03 Nov 2021 07:08:41 +0000

\(6 \cdot 3^{3x} +1 = 7 \cdot 5^{2x}\) を満たす \(0\) 以上の整数 \(x\) をすべて求めよ.

【解答】

\(x = 0\) のとき \[ 6 \cdot 1 +1 = 7 = 7 \cdot 1 \]
\(x = 1\) のとき \[ 6 \cdot 27 +1 = 163 \neq 175 = 7 \cdot 25 \]
\(x = 2\) のとき \[ 6 \cdot 729 +1 = 4375 = 7 \cdot 625 \]

以下では, \(x \geqq 3\) が解でないことを示す.
\(x \geqq 2\) のときに \(6 \cdot 3^{3x} +1 \geqq 7 \cdot 5^{2x}\) ... [1] が成立すると仮定すると \[\begin{align} 6 \cdot 27^{x+1} +1 & \geqq ( 25 +2 ) ( 7 \cdot 25^x -1 ) +1 \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ )\\ & = 7 \cdot 25^{x+1} +14 \cdot 25^x -26 \\ & \gt 7 \cdot 25^{x+1} \end{align}\] したがって, 帰納的に \(n \geqq 3\) においては \[ 6 \cdot 3^{3x} +1 \gt 7 \cdot 5^{2x} \] よって, 求める解は \[ x = \underline{0 , 2} \]

一橋大2016：第2問

roundown — Wed, 03 Nov 2021 07:09:35 +0000

\(\theta\) を実数とし, 数列 \(\{ a_n \}\) を \[ a_1 = 1 , \quad a_2 = \cos \theta , \quad a _{n+2} = \dfrac{3}{2} a _{n+1} -a_n \ ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] により定める. すべての \(n\) について \(a_n = \cos (n-1) \theta\) が成り立つとき, \(\cos \theta\) を求めよ.

【解答】

条件より \[\begin{align} \cos (n+1) \theta & = \dfrac{3}{2} \cos n \theta -\cos (n-1) \theta \\ 2 \cos n \theta \cos \theta & = \dfrac{3}{2} \cos n \theta \\ \cos n \theta \left( \cos \theta -\dfrac{3}{4} \right) & = 0 \\ \text{∴} \quad \cos n \theta = 0 & , \ \cos \theta = \dfrac{3}{4} \end{align}\] \(\cos n \theta = 0\) のときを考えると, \(a_2 = a_3 = 0\) となるが \[ a_1 = \dfrac{3}{2} a_2 -a_3 = 0 \neq 1 \] で, 矛盾が生じる.
よって \[ \cos \theta = \underline{\dfrac{3}{4}} \]

一橋大2016：第3問

roundown — Wed, 03 Nov 2021 07:13:38 +0000

硬貨が \(2\) 枚ある. 最初は \(2\) 枚とも表の状態で置かれている. 次の操作を \(n\) 回行ったあと, 硬貨が \(2\) 枚とも裏になっている確率を求めよ.

[操作]　\(2\) 枚とも表, または \(2\) 枚とも裏のときには, \(2\) 枚の硬貨両方を投げる. 表と裏が \(1\) 枚ずつのときには, 表になっている硬貨だけを投げる.

【解答】

表の枚数が \(0\) 枚, \(1\) 枚, \(2\) 枚である状態をそれぞれ \(S_0 , S_1 , S_2\) とおく.
操作 \(1\) 回ごとの状態遷移は下図のようになる.

操作 \(n\) 回後に, \(S_0 , S_1 , S_2\) である確率をそれぞれ \(p_n , q_n , r_n\) とおくと \[\begin{align} p_0 & = q_0 = 0 , \ r_0 = 1 \\ p _ {n+1} & = \dfrac{1}{4} p_n +\dfrac{1}{2} q_n +\dfrac{1}{4} r_n \quad ... [1] \\ q _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} p_n +\dfrac{1}{2} q_n +\dfrac{1}{2} r_n \quad ... [2] \\ r _ {n+1} & = \dfrac{1}{4} p_n +\dfrac{1}{4} r_n \\ \end{align}\] \(p_n +q_n +r_n = 1\) なので, [2] より, \(n \geqq 1\) において \[ q_n = \dfrac{1}{2} \] [1] に代入すると \[ p _ {n+1} = \dfrac{1}{4} p_n +\dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1}{2} -p_n\right) = \dfrac{3}{8} \] ゆえに, \(n \geqq 2\) において \[ p_n = \dfrac{3}{8} \] \(n=1\) のときは \[ p_1 = \dfrac{1}{4} \cdot 0 +\dfrac{1}{2} \cdot 0 +\dfrac{1}{4} \cdot 1 = \dfrac{1}{4} \] よって, 求める確率は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{4} & ( \ n = 1 \ \text{のとき} \ ) \\ \dfrac{3}{8} & ( \ n \geqq 2 \ \text{のとき} \ ) \end{array} \right.} \]

一橋大2016：第4問

roundown — Wed, 03 Nov 2021 07:15:17 +0000

\(a\) を実数とし, \(f(x) = x^3 -3ax\) とする. 区間 \(-1\leq x \leqq 1\) における \(| f(x) |\) の最大値を \(M\) とする. \(M\) の最小値とそのときの \(a\) の値を求めよ.

【解答】

\[ | f(-x) | = | -x^3 +3ax | = | x^3 -3ax | = | f(x) | \] なので, \(0 \leqq x \leqq 1\) における \(| f(x) |\) の最大値について考えればよい. \[ f'(x) = 3x^2 -3a = 3 \left( x -\sqrt{3} \right) \left( x +\sqrt{3} \right) \] なので, \(0 \lt a \lt 1\) のとき, \(| f(x) |\) は極値をとる.
したがって, \(M\) の候補は \[\begin{align} | f(0) | & = 0 \\ | f(1) | & = | 1 -3a | = \left\{ \begin{array}{ll} 1 -3a & \left( \ a \lt \dfrac{1}{3} \ \text{のとき} \ \right) \\ 3a -1 & \left( \ a \geqq \dfrac{1}{3} \ \text{のとき} \ \right) \end{array} \right. \\ | f(a) | & = \left| a \sqrt{a} -3a \sqrt{a} \right| = 2 a^{\frac{3}{2}} \quad ( \ 0 \lt a \lt 1 \ \text{のとき} \ ) \end{align}\] これらの大小を比較すると, \(M\) のグラフは下図のようになる.

よって, \(M\) は \(a = \underline{\dfrac{1}{4}}\) のとき, 最小値 \(\underline{\dfrac{1}{4}}\) をとる.

一橋大2016：第5問[I]

roundown — Wed, 03 Nov 2021 07:17:29 +0000

平面上の \(2\) つのベクトル \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) は零ベクトルではなく, \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角度は \(60^{\circ}\) である. このとき \[ r = \dfrac{\left| \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} \right|}{\left| 2 \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right|} \] のとりうる値の範囲を求めよ.

【解答】

\(a = \left| \overrightarrow{a} \right|\) , \(b = \left| \overrightarrow{b} \right|\) とおくと, \(a \gt 0\) , \(b \gt 0\) .
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = ab \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} ab \] を用いれば \[\begin{align} \left| \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} \right|^2 & = a^2 +2ab +4 b^2 \ , \\ \left| 2 \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right|^2 & = 4 a^2 +2ab +b^2 \end{align}\] \(t = \dfrac{a}{b} ( \gt 0 )\) とおくと \[\begin{align} r^2 & = \dfrac{a^2 +2ab +4 b^2}{4 a^2 +2ab +b^2} \\ & = \dfrac{t^2 +2t +4}{4t^2 +2t +1} \end{align}\] これを変形して \[\begin{gather} ( 4t^2 +2t +1 ) r^2 = t^2 +2t +4 \\ \text{∴} \quad ( 4r^2 -1 ) t^2 +2 ( r^2 -1 ) t +r^2 -4 = 0 \quad ... [1] \end{gather}\] したがって, [1] が \(t \gt 0\) に解をもつ条件を求めればよい.

1*　\(r = \dfrac{1}{2}\) のとき
[1] より \[\begin{align} -2 \cdot \dfrac{3}{4} t -\dfrac{15}{4} & = 0 \\ \text{∴} \quad t = -\dfrac{5}{2} \end{align}\] これは, \(t \gt 0\) に解をもたないので不適.
2*　\(r \neq \dfrac{1}{2}\) のとき
\(4 r^2 -1 \gt 2 ( r^2 -1 ) \gt r^2 -4 \) であることに注意すれば, 正の実数解をもつ条件は \[\begin{gather} 4 r^2 -1 \gt 0 \ \text{かつ} \ r^2 -4 \lt 0 \\ \text{∴} \quad \dfrac{1}{2} \lt r \lt 2 \end{gather}\]

以上より, 求める値の範囲は \[ \underline{\dfrac{1}{2} \lt r \lt 2} \]

一橋大2016：第5問[II]

roundown — Wed, 03 Nov 2021 07:18:44 +0000

\(x\) は \(0\) 以上の整数である. 次の表は \(2\) つの科目 X と Y の試験を受けた \(5\) 人の得点をまとめたものである. \[ \begin{array}{c|ccccc} & [1] & [2] & [3] & [4] & [5] \\ \hline \text{科目 X の得点} & x & 6 & 4 & 7 & 4 \\ \hline \text{科目 Y の得点} & 9 & 7 & 5 & 10 & 9 \end{array} \]

(1)　\(2n\) 個の実数 \(a_1 , a_2 , \cdots , a_n , b_1 , b_2 , \cdots b_n\) について, \(a = \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a_k\) , \(b = \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} b_k\) とすると, \[ \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} ( a_k -a ) ( b_k -b ) = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a_k b_k -nab \] が成り立つことを示せ.
(2)　科目 X の得点と科目 Y の得点の相関係数 \(r_{XY}\) を \(x\) で表せ.
(3)　\(x\) の値を \(2\) 増やして \(r _{XY}\) を計算しても値は同じであった. このとき, \(r _{XY}\) の値を四捨五入して小数第 \(1\) 位まで求めよ.

【解答】

(1)

\[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} ( a_k -a ) ( b_k -b ) & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \left( a_k b_k -b a_k -a b_k +ab \right) \\ & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a_k b_k -nab -nab +nab \\ & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a_k b_k -nab \end{align}\]

(2)

\(5\) 人の X ,Y それぞれの得点を \(x_k , y_k \ ( k = 1 , \cdots , 5 )\) として, 平均を \(\overline{x} , \overline{y}\) , 分散を \({s_X}^2 , {s_Y}^2\) , X と Y の共分散を \(s _ {XY}\) とおくと, (1) の結果も用いて \[\begin{align} \overline{x} & = \dfrac{x +21}{5} \ , \\ \overline{y} & = \dfrac{40}{5} = 8 \ , \\ {s_X}^2 & = \dfrac{x^2 +36 +16 +49 +16}{5} -\overline{x}^2 \\ & = \dfrac{x^2 +112}{5} -\dfrac{(x +21)^2}{25} \\ & = \dfrac{4 x^2 -42x +144}{25} , \\ {s_Y}^2 & = \dfrac{81 +49 +25 +100 +81}{5} -\overline{y}^2\\ & = \dfrac{336}{5} -64 = \dfrac{16}{5} \ , \\ s _ {XY} & = \dfrac{1}{5} \textstyle\sum\limits _ {i=k}^{n} x_k y_k -\overline{x} \overline{y} \\ & = \dfrac{9x +42 +20 +70 +36}{5} -\dfrac{x +21}{5} \cdot 8 \\ & = \dfrac{9x +168}{5} -\dfrac{8x +168}{5} \\ & = \dfrac{x}{5} \end{align}\] よって, 求める値は \[\begin{align} r_{XY} & = \dfrac{s _ {XY}}{s_X s_Y} \\ & = \dfrac{\dfrac{x}{5}}{\dfrac{\sqrt{4 x^2 -42x +144}}{5} \cdot \dfrac{4}{\sqrt{5}}} \\ & = \underline{\dfrac{\sqrt{5} x}{4 \sqrt{4 x^2 -42x +144}}} \end{align}\]

(3)

条件より \[\begin{align} \dfrac{\sqrt{5} x}{4 \sqrt{4 x^2 -42x +144}} & = \dfrac{\sqrt{5} (x+2)}{4 \sqrt{4 (x+2)^2 -42(x+2) +144}} \\ 5 x^2 ( 4 x^2 -26x +76 ) & = 5 (x+2)^2 ( 4 x^2 -42x +144 ) \\ 20 x^4 -130 x^3 +380 x^2 & = 20 x^4 -130x^3 +464 x^2 -408 x -576 \\ 7x^2 -34 x -48 & = 0 \\ ( x -6 ) ( 7x +8 ) & = 0 \\ \end{align}\] \(x\) は \(0\) 以上の整数なので \[ x = 6 \] このとき, \(\sqrt{5} = 2.236 \cdots\) を用いて \[ r _{XY} = \dfrac{6 \sqrt{5}}{4 \sqrt{36}} = \dfrac{\sqrt{5}}{4} = 0.559 \cdots \] なので, 小数第 \(2\) 位を四捨五入して \[ r _{XY} = \underline{0.6} \]

東大文系2016：第1問

roundown — Tue, 26 Oct 2021 14:11:39 +0000

座標平面上の \(3\) 点 P \(( x , y )\) , Q \(( -x , -y )\) , R \(( 1 , 0 )\) が鋭角三角形をなすための \(( x , y )\) についての条件を求めよ. また, その条件をみたす点 P \(( x , y )\) の範囲を図示せよ.

【解答】

\[\begin{align} \text{PQ}^2 & = 4 ( x^2 +y^2 ) \ , \\ \text{PR}^2 & = ( x-1 )^2 +y^2 \ , \\ \text{QR}^2 & = ( x+1 )^2 +y^2 \end{align}\] 点 P が \(x\) 軸上にあると, \(3\) 点が一直線上に並んでしまうので \[ y \neq 0 \quad ... [1] \] △PQR が鋭角三角形になる条件は \[ \left\{ \begin{array}{ll} \text{PQ}^2 \lt \text{PR}^2 +\text{QR}^2 & \quad ... [2] \\ \text{PR}^2 \lt \text{QR}^2 +\text{PQ}^2 & \quad ... [3] \\ \text{QR}^2 \lt \text{PQ}^2 +\text{PR}^2 & \quad ... [4] \end{array} \right. \] [2] より \[\begin{align} 4 x^2 +4 y^2 & \lt 2 x^2 +2 y^2 +2 \\ \text{∴} \quad x^2 +y^2 & \lt 1 \end{align}\] [3] より \[\begin{align} -2x & \lt 4 x^2 +4 y^2+2x \\ x^2 +x +y^2 & \gt 0 \\ \text{∴} \quad \left( x +\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 & \gt \dfrac{1}{4} \end{align}\] [4] より \[\begin{align} 2x & \lt 4 x^2 +4 y^2-2x \\ x^2 -x +y^2 & \gt 0 \\ \text{∴} \quad \left( x -\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 & \gt \dfrac{1}{4} \end{align}\] よって, 求める条件は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{l} x^2 +y^2 \lt 1 \\ \left( x +\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 \gt \dfrac{1}{4} \\ \left( x -\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 \gt \dfrac{1}{4} \end{array} \right.} \] 図示すると, 下図斜線部（境界は含まない）. これは, [1] も満たしている.

東大文系2016：第2問

roundown — Tue, 26 Oct 2021 14:14:46 +0000

A , B , C の \(3\) つのチームが参加する野球の大会を開催する. 以下の方式で試合を行い, \(2\) 連勝したチームが出た時点で, そのチームを優勝チームとして大会は終了する.

(a)　\(1\) 試合目で A と B が対戦する.
(b)　\(2\) 試合目で, \(1\) 試合目の勝者と, \(1\) 試合目で待機していた C が対戦する.
(c)　\(k\) 試合目で優勝チームが決まらない場合は, \(k\) 試合目の勝者と \(k\) 試合目で待機していたチームが \(k+1\) 試合目で対戦する. ここで \(k\) は \(2\) 以上の整数とする.

なお, すべての対戦において, それぞれのチームが勝つ確率は \(\dfrac{1}{2}\) で, 引き分けはないものとする.

(1)　ちょうど \(5\) 試合目で A が優勝する確率を求めよ.
(2)　\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. ちょうど \(n\) 試合目で A が優勝する確率を求めよ.
(3)　\(m\) を正の整数とする. 総試合数が \(3m\) 回以下で A が優勝する確率を求めよ.

【解答】

(1)

A が優勝するのは, 次の \(2\) 通りが考えられる.

1*　以下の \(3\) 試合のセットが \(0\) 回以上繰り返された後に, A が B , C に連勝する.
- A 対 B で A が勝つ
- A 対 C で C が勝つ
- B 対 C で B が勝つ
2*　以下の \(3\) 試合のセットが \(1\) 回以上繰り返された後に, A が B に勝つ.
- A 対 B で B が勝つ
- B 対 C で C が勝つ
- A 対 C で A が勝つ

\(5\) 試合目に A が優勝するのは, 1* の場合に当たり, 求める確率は \[ \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{4} = \underline{\dfrac{1}{32}} \]

(2)

1* の場合, A が \(n = 3m-1 \ ( m \geqq 1 )\) 試合目で優勝し, その確率は \[ \left( \dfrac{1}{8} \right)^{m-1} \cdot \dfrac{1}{4} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3m-1} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \] 2* の場合, A が \(n = 3m+1 \ ( m \geqq 1 )\) 試合目で優勝し, その確率は \[ \left( \dfrac{1}{8} \right)^m \cdot \dfrac{1}{2} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3m+1} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \] よって, 求める確率は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 0 & ( \ n \ \text{が} \ 3 \ \text{の倍数のとき} \ ) \\ \left( \dfrac{1}{2} \right)^n & ( \ n \ \text{が} \ 3 \ \text{の倍数でないとき} \ ) \end{array} \right.} \]

(3)

(2) の結果から, 求める確率は \[\begin{align} & \textstyle\sum\limits _ {k=2}^{3m} \left( \dfrac{1}{2} \right)^k -\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3k} \\ & \quad = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1 -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{3m}}{1 -\dfrac{1}{2}} -\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1 -\left( \dfrac{1}{8} \right)^m}{1 -\dfrac{1}{8}} \\ & \quad = \dfrac{1}{2} -\left( \dfrac{1}{8} \right)^m -\dfrac{1}{7} \left\{ 1 -\left( \dfrac{1}{8} \right)^m \right\} \\ & \quad = \underline{\dfrac{5}{14} -\dfrac{6}{7} \left( \dfrac{1}{8} \right)^m} \end{align}\]

2016年 - 大学入試数学の資料集

一橋大2016：第1問

【 解 答 】

一橋大2016：第2問

【 解 答 】

一橋大2016：第3問

【 解 答 】

一橋大2016：第4問

【 解 答 】

一橋大2016：第5問[I]

【 解 答 】

一橋大2016：第5問[II]

【 解 答 】

東大文系2016：第1問

【 解 答 】

東大文系2016：第2問

【 解 答 】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】