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【 解 答 】

点 \(\text{P}' {} _ 1 \ ( 0 , 0 , 1 )\) とおけば, \(\triangle \text{QP} {} _ 1 \text{P}' {} _ 1 \sim \triangle \text{QR} {} _ 1 \text{O}\) なので \[\begin{align} a : a-1 & = \text{OR} {} _ 1 : 1 \\ \text{∴} \quad \text{OR} {} _ 1 & = \dfrac{a}{a-1} \end{align}\] したがって,　\(\text{R} {} _ 1 \ \left( \dfrac{a}{a-1} , 0 , 0 \right)\) .
また, 点 \(\text{P}' {} _ 3 \ ( 0 , 0 , 3 )\) とおけば, \(\triangle \text{QP} {} _ 3 \text{P}' {} _ 3 \sim \triangle \text{QR} {} _ 3 \text{O}\) なので \[\begin{align} a : 3-a & = 1 : \text{OR} {} _ 3 \\ \text{∴} \quad \text{OR} {} _ 3 & = \dfrac{a}{3-a} \end{align}\] したがって,　\(\text{R} {} _ 3 \ \left( \dfrac{a}{3-a} , 0 , 0 \right)\) .
さらに, \(\triangle \text{QP} {} _ 1 \text{P} {} _ 2 \sim \triangle \text{QR} {} _ 1 \text{R} {} _ 2\) なので \[\begin{align} a : a-1 & = \text{R} {} _ 1 \text{R} {} _ 2 : 1 \\ \text{∴} \quad \text{R} {} _ 1 \text{R} {} _ 2 & = \dfrac{a}{a-1} \end{align}\] \(\text{R} {} _ 1 \text{R} {} _ 2 / \hspace{-0.2em} / \text{P} {} _ 1 \text{P} {} _ 2\) なので,　\(\text{R} {} _ 2 \ \left( \dfrac{a}{a-1} , \dfrac{a}{a-1} , 0 \right)\) .
以上の結果より \[\begin{align} S(a) & = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{a}{a-1} +\dfrac{a}{3-a} \right) \cdot \dfrac{a}{a-1} \\ & = \dfrac{a^2}{(a-1)^2 (3-a)} \end{align}\] \(f(a) = \dfrac{1}{S(a)}\) とおいて, \(f(a)\) が最大になるときについて考えればよい. \[\begin{align} f(a) & = \dfrac{-a^3 +5a^2 -7a +3}{a^2} \\ & = -a +5 -\dfrac{7}{a} +\dfrac{3}{a^2} \end{align}\] \(a\) で微分すると \[\begin{align} f'(a) & = -1 +\dfrac{7}{a^2} -\dfrac{6}{a^3} \\ & = -\dfrac{a^3 -7a +6}{a^3} \\ & = -\dfrac{(a-1)(a-2)(a+3)}{a^3} \end{align}\] したがって, \(f(a)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} a & (1) & \cdots & 2 & \cdots & (3) \\ \hline f'(a) & & + & 0 & - & \\ \hline f(a) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array} \] よって, \(S(a)\) が最小となるのは \[ a = \underline{2} \] のときで \[ S (2) = \underline{4} \]

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【 解 答 】

点 A , B , C はすべて異なるので \[\begin{align} z \neq 1 , \quad z^2 & \neq 1 , \quad z \neq z^2 \\ \text{∴} \quad z & \neq 0 , \pm 1 \quad ... [1] \end{align}\] \(\triangle \text{ABC}\) が鋭角三角形となる条件は \[ \left\{ \begin{array}{l} \text{AB}^2 + \text{BC}^2 \gt \text{CA}^2 \\ \text{BC}^2 + \text{CA}^2 \gt \text{AB}^2 \\ \text{CA}^2 + \text{AB}^2 \gt \text{BC}^2 \end{array} \right. \quad ... [2] \] ここで \[\begin{align} \text{AB}^2 & = | z-1 |^2 \\ \text{BC}^2 & = | z^2-z |^2 = |z|^2 | z-1 |^2 \\ \text{CA}^2 & = | z^2-1 |^2 = | z+1 |^2 | z-1 |^2 \end{align}\] [2] に代入して, \(| z-1 |^2 \gt 0\) に注意すれば \[ \left\{ \begin{array}{ll} 1+|z|^2 \gt | z+1 |^2 & \quad ... [3] \\ |z|^2 +| z+1 |^2 \gt 1 & \quad ... [4] \\ | z+1 |^2 +1 \gt |z|^2 & \quad ... [5] \end{array} \right. \] \(z = x +yi\) とおけば, [3] より \[\begin{align} 1 +x^2 +y^2 & \gt (x+1)^2 +y^2 \\ \text{∴} \quad x & \lt 0 \end{align}\] [4] より \[\begin{align} (x+1)^2 +y^2 +1 & \gt x^2 +y^2 \\ 2x +2 & \gt 0 \\ \text{∴} \quad x & \gt -1 \end{align}\] [5] より \[\begin{align} x^2 +y^2 +(x+1)^2 +y^2 & \gt 1 \\ 2x^2 +2x +2y^2 & \gt 0 \\ \text{∴} \quad \left( x +\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 & \gt \dfrac{1}{4} \end{align}\] 以上より, 求める \(z\) の範囲は \[ \underline{-1 \lt \text{Re} \, z \lt 0 \ \text{かつ} \ \left| z +\dfrac{1}{2} \right| \gt \dfrac{1}{2}} \] であり, 複素数平面上に図示すると, 下図斜線部（〇, 点線境界は除く）.

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【 解 答 】

(1)

\(A _ k = \dfrac{a _ 1}{10} +\dfrac{a _ 2}{10^2} +\cdots +\dfrac{a _ k}{10^k}\) とおくと \[ 10^{-k} \leqq A _ k \leqq 1 -10^{-k} \quad ... [1] \] また, \(10^k A _ k\) は自然数で, [1] より \[ 1\leq 10^k A _ k \leqq 10^k -1 \quad ... [2] \] 与えられた不等式を変形すると \[\begin{align} 10^k +A _ k & \leqq \sqrt{n} \lt 10^k +A _ k +10^{-k} \\ \text{∴} \quad 10^{2k} +2 \cdot 10^k A _ k +{A _ k}^2 & \leqq n \lt 10^{2k} +2 \cdot 10^k A _ k +2 +( {A _ k} +10^{-k} )^2 \end{align}\] ここで, [1] を用いれば \[ 0 \lt {A _ k}^2 \lt 1 , \quad 0 \lt ( {A _ k} +10^{-k} )^2 \leqq 1 \] なので \[ 10^{2k} +2 \cdot 10^k A _ k \lt n \lt 10^{2k} +2 \cdot 10^k A _ k +3 \] よって, 求める \(n\) は \[ n = \underline{10^{2k} +2 \cdot 10^k A _ k +1 , \ 10^{2k} +2 \cdot 10^k A _ k +2} \]

(2)

与えられた不等式を変形すると \[\begin{align} p +A _ k & \leqq \sqrt{m} \lt p +A _ k +10^{-k} \\ \text{∴} \quad \underline{p^2 +2 p A _ k +{A _ k}^2} _ {[3]} & \leqq m \lt \underline{p^2 +2 p (A _ k +10^{-k} ) +( {A _ k} +10^{-k} )^2} _ {[4]} \end{align} \] ここで, [3] と [4] の差を考えると \[\begin{align} [4] - [3] & = 2p \cdot 10^{-k} +2 A _ k \cdot 10^{-k} +10^{-2k} \\ & \gt 2p \cdot 10^{-k} \\ & \geqq 1 \quad ( \ \text{∵} \ p \geqq 5 \cdot 10^{k-1} \ ) \end{align}\] 差が \(1\) より大きな \(2\) 数の間には, 少なくとも \(1\) つの整数が含まれるので,
よって, 題意は示された.

(3)

条件をみたす正の整数 \(s\) が存在すると仮定する.
\(\sqrt{s} = \left[ \sqrt{s} \right] +A _ k\) なので \[\begin{align} s & = \left[ \sqrt{s} \right]^2 +\underline{2A _ k \left[ \sqrt{s} \right]} _ {[5]} +\underline{{A _ k}^2} _ {[6]} \end{align}\] [5] は, 小数点以下高々 \(k\) 桁の実数だが, [6] は \(a _ k \neq 0\) なので, 小数点以下 \(2k\) 桁の実数である.
すなわち, \(s\) は小数点以下 \(2k\) 桁の実数となり, 矛盾する.
よって, 条件をみたす正の整数 \(s\) は存在しない.

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【 解 答 】

\(K\) は \(z\) 軸について対称なので, \(xz\) 平面上で, 線分 AB の通過領域を考える.
\(K\) のうち, \(z \geqq 1\) をみたす部分は, 線分 BC の通過領域である.
さらに, 点 B は点 D \(( 0, 0, 2 )\) から点 C まで動くが, この間, \(\angle \text{BCD}\) は単調増加, 線分 BC の長さは単調減少する.
したがって, 線分 BC の通過領域は, 点 B の軌跡と \(z\) 軸に囲まれた部分となり, これの \(z\) 軸による回転体の体積を求めればよい.
\(\angle \text{OCA} = \theta\) とおくと, \(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{3}\) であり \[ \text{AC} = \dfrac{1}{\cos \theta} , \quad \text{BC} = 2 -\dfrac{1}{\cos \theta} \] 点 B から \(z\) 軸に下ろした垂線の足を点 D とすれば \[\begin{align} \text{CD} & = \text{BC} \cos \theta = 2 \cos \theta -1 \\ \text{BD} & = \text{BC} \sin \theta = 2 \sin \theta -\tan \theta \end{align}\] したがって, 点 B の座標を \(( X , Z )\) とすれば \[ ( X , Z ) = \left( 2 \sin \theta -\tan \theta , 2 \cos \theta \right) \] あらためて, \(t = \cos \theta\) とおくと, \(\dfrac{1}{2} \leqq t \leqq 1\) で \[ ( X , Z ) = \left( \dfrac{( 2t -1 ) \sqrt{1 -t^2}}{t} , 2t \right) \] 以上より, 求める体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = \pi \displaystyle\int _ {1}^{2} X^2 \, dZ \\ & = \pi \displaystyle\int _ {\frac{1}{2}}^{1} \dfrac{( 2t-1 )^2 (1 -t^2)}{t^2} \cdot 2 \, dt \\ & = 2 \pi \displaystyle\int _ {\frac{1}{2}}^{1} \left( -4t^2 +4t +3 -\dfrac{4}{t} +\dfrac{1}{t^2} \right) \, dt \\ & = 2 \pi \left[ -\dfrac{4 t^3}{3} +2t^2 +3t -4 \log t -\dfrac{1}{t} \right] _ {\frac{1}{2}}^{1} \\ & = 2 \pi \left\{ \dfrac{8}{3} -\left( -\dfrac{1}{6} +4 \log 2 \right) \right\} \\ & = \underline{\left( \dfrac{17}{3} -8 \log 2 \right) \pi} \end{align}\]

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