名古屋大理系 - 大学入試数学の資料集

名古屋大理系2021：第1問

roundown — Tue, 23 Nov 2021 00:17:11 +0000

\(a\) を正の実数とする. 放物線 \(y = x^2\) を \(C_1\) , 放物線 \(y = -x^2 +4ax -4 a^2 +4 a^4\) を \(C_2\) とする. 以下の問に答えよ.

(1)　点 \(( t , t^2 )\) における \(C_1\) の接線の方程式を求めよ.
(2)　\(C_1\) と \(C_2\) が異なる \(2\) つの共通接線 \(\ell , \ell '\) を持つような \(a\) の範囲を求めよ. ただし, \(C_1\) と \(C_2\) の共通接線とは, \(C_1\) と \(C_2\) の両方に接する直線のことである.

以下, \(a\) は (2) で求めた範囲にあるとし, \(\ell , \ell '\) を \(C_1\) と \(C_2\) の異なる \(2\) つの共通接線とする.

(3)　\(\ell , \ell '\) の交点の座標を求めよ.
(4)　\(C_1\) と \(\ell , \ell '\) で囲まれた領域を \(D_1\) とし, 不等式 \(x \leqq a\) の表す領域を \(D_2\) とする. \(D_1\) と \(D_2\) の共通部分の面積 \(S(a)\) を求めよ.
(5)　\(S(a)\) を (4) の通りとする. \(a\) が (2) で求めた範囲を動くとき, \(S(a)\) の最大値を求めよ.

【解答】

(1)

\(C_1\) の式より, \(y' = 2x\) なので, 接線の式は \[\begin{align} y & = 2t (x-t) + t^2 \\ & = 2tx -t^2 \end{align}\] すなわち \[ \underline{y = 2tx -t^2} \]

(2)

(1) で求めた式と \(C_2\) の式から \(y\) を消去して \[\begin{gather} 2tx -t^2 = -x^2 +4ax -4a^2 +4a^4 \\ \text{∴} \quad x^2 +2( t -2a ) x -t^2 -4a^2 +4a^4 = 0 \end{gather}\] これが重解をもつので, 判別式 \(D_1\) について \[\begin{align} \dfrac{D_1}{4} & = ( t -2a )^2 +t^2 +4a^2 -4a^4 \\ & = 2t^2 -4at +4a^4 = 0\\ \text{∴} \quad & t^2 -2a t +2a^4 = 0 \quad ... [1] \end{align}\] これが異なる \(2\) 実数解をもつので, 判別式 \(D_2\) について \[\begin{align} \dfrac{D_2}{4} = a^2 -2a^4 & \gt 0 \\ 1 -2a^2 & \gt 0 \quad ( \ \text{∵} \ a^2 \gt 0 \ ) \\ \text{∴} \quad & \underline{0 \lt a \lt \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \end{align}\]

(3)

[1] の \(2\) 解を \(p , q \ (p\lt q )\) とおくと \[\begin{align} \ell \ : \ y & = 2px -p^2 \\ \ell' \ : \ y & = 2qx -q^2 \end{align}\] これをとくと \[\begin{align} 2px -p^2 & = 2qx -q^2 \\ 2( p-q ) x & = p^2 -q^2 \\ \text{∴} \quad x & = \dfrac{p+q}{2} \quad ( \ \text{∵} \ p \neq q \ ) \end{align}\] ゆえに \[ y = 2p \cdot \dfrac{p+q}{2} -p^2 = pq \] 解と係数の関係から, [1] より \[ p+q = 2a \ , \ pq = 2a^4 \quad ... [2] \] よって, 交点の座標は \[ \underline{( a , 2a^4 )} \]

(4)

[2] より \[\begin{align} (q-p)^2 & = (p+q)^2 -4pq \\ & = 4a^2 -8a^2 = 4 a^2 ( 1 -2a^2 ) \end{align}\] よって \[\begin{align} S(a) & = \displaystyle\int _ {p}^{\frac{p+q}{2}} ( x^2 -2p x +p^2 ) \, dx \\ & = \left[ \dfrac{(x-p)^3}{3} \right] _ {p}^{\frac{p+q}{2}} = \dfrac{(q-p)^3}{24} \\ & = \dfrac{8 a^3 ( 1 -2a^2 )^{\frac{3}{2}}}{24} \\ & = \underline{\dfrac{1}{3} a^3 ( 1 -2a^2 )^{\frac{3}{2}}} \\ \end{align}\]

(5)

\(u = a^2\) とおくと, \(0 \lt u \lt \dfrac{1}{2}\) .
\(f(u) = u ( 1 -2u )\) とおけば \[ f(u) = -2 \left( u -\dfrac{1}{4} \right)^2 +\dfrac{1}{8} \] よって, \(u = \dfrac{1}{4}\) すなわち \(a = \dfrac{1}{2}\) のとき, \(S(a)\) は最大となり, その値は \[ \dfrac{1}{3} \left\{ f \left( \dfrac{1}{2} \right) \right\}^{\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{8} \right)^{\frac{3}{2}} = \underline{\dfrac{\sqrt{2}}{96}} \]

名古屋大理系2021：第2問

roundown — Tue, 23 Nov 2021 00:19:39 +0000

\(4\) つの実数を \(\alpha = \log_2 3\) , \(\beta = \log _3 5\) , \(\gamma = \log _5 2\) , \(\delta = \dfrac{3}{2}\) とおく. 以下の問に答えよ.

(1)　\(\alpha \beta \gamma = 1\) を示せ.
(2)　\(\alpha , \beta , \gamma , \delta\) を小さい順に並べよ.
(3)　\(p = \alpha +\beta +\gamma\) , \(q = \dfrac{1}{\alpha} +\dfrac{1}{\beta} +\dfrac{1}{\gamma}\) とし, \(f(x) = x^3 +p x^2 +q x +1\) とする. このとき \(f \left( -\dfrac{1}{2} \right)\) , \(f( -1 )\) および \(f \left( -\dfrac{3}{2} \right)\) の正負を判定せよ.

【解答】

(1)

\[ \alpha \beta \gamma = \dfrac{\log 3}{\log 2} \cdot \dfrac{\log 5}{\log 3} \cdot \dfrac{\log 2}{\log 5} = 1 \]

(2)

\[\begin{align} \alpha -\delta & = \dfrac{\log 3}{\log 2} -\dfrac{3}{2} = \dfrac{\log 9 -\log 8}{2 \log 2} \gt 0 \ , \\ \beta -\delta & = \dfrac{\log 5}{\log 3} -\dfrac{3}{2} = \dfrac{\log 25 -\log 27}{2 \log 2} \lt 0 \ , \\ \beta & = \dfrac{\log 5}{\log 3} \gt 1 \ , \quad \gamma = \dfrac{\log 2}{\log 5} \lt 1 \end{align}\] 以上より \[ \underline{\gamma \lt \beta \lt \delta \lt \alpha} \]

(3)

(1) の結果を用いれば \[\begin{align} f(x) & = x^3 +( \alpha +\beta +\gamma ) x^2 +( \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) x +\alpha \beta \gamma \\ & = ( x +\alpha ) ( x +\beta ) ( x +\gamma ) \end{align}\] また \[ \gamma -\dfrac{1}{2}= \dfrac{\log 4 -\log 5}{2\log 5} \lt 0 \] (1) の結果とあわせて \[ 0 \lt \gamma \lt \dfrac{1}{2} \ , \ 1 \lt \beta \lt \dfrac{3}{2} \lt \alpha \] ゆえに \[ -\alpha \lt -\dfrac{3}{2} \lt -\beta \lt -1 \ , \ -\dfrac{1}{2} \lt -\gamma \lt 0 \] したがって, \(y = f(x)\) のグラフは下図のようになる.

よって \[ \underline{f \left( -\dfrac{1}{2} \right) \lt 0 \ , \ f( -1 ) \lt 0 \ , \ f \left( -\dfrac{3}{2} \right) \gt 0} \]

名古屋大理系2021：第3問

roundown — Tue, 23 Nov 2021 00:24:07 +0000

\(1\) から \(12\) までの数字が下図のように並べて書かれている. 以下のルール (a) , (b) と (終了条件) を用いたゲームを行う, ゲームを開始すると最初に (a) を行い, (終了条件) が満たされたならゲームを終了する. そうでなければ (終了条件) が満たされるまで (b) の操作を繰り返す. ただし, (a) と (b) における数字を選ぶ操作はすべて独立な試行とする.

(a)　\(1\) から \(12\) までの数字のどれか \(1\) つを等しい確率で選び, 下の図において選んだ数字を丸で囲み, その上に石を置く.
(b)　石が置かれた位置の水平右側または垂直下側の位置にある数字のどれか \(1\) つを等しい確率で選び, その数字を丸で囲み, そこに石を移して置く. 例えば, 石が \(6\) の位置に置かれているときは, その水平右側または垂直下側の位置にある数字 \(7, 8, 9, 10, 12\) のどれか \(1\) つの数字を等しい確率で選び, その数字を丸で囲み, そこに石を移して置く.
(終了条件)　\(5, 9, 11, 12\) の数字のどれか \(1\) つが丸で囲まれ石が置かれている.

ゲームの終了時に数字 \(j\) が丸で囲まれている確率を \(p_j\) とする. 以下の問に答えよ.

(1)　確率 \(p_2\) を求めよ.
(2)　確率 \(p_5\) と \(p_{11}\) を求めよ.
(3)　確率 \(p_5 , p_9 , p_{11} , p_{12}\) のうち最も大きいものの値を求めよ.

【解答】

(1)

\(2\) が丸で囲まれるのは, 以下のいずれかのとき.

操作 (a) で \(2\) が丸で囲まれる.
\(1\) に石がある状態から, 操作 (b) で \(2\) が選ばれる.

\(p_1 = \dfrac{1}{12}\) なので, 求める確率は \[ p_2 = \dfrac{1}{12} +\dfrac{1}{7} p_1 = \underline{\dfrac{2}{21}} \]

(2)

(1) と同様に考えて, \(k\) が丸で囲まれるのは, 以下のいずれかのとき.

操作 (a) で \(k\) が丸で囲まれる.
\(k\) より左または上の数字に石がある状態から, 操作 (b) で \(k\) が選ばれる.

これを用いると \[\begin{align} p_3 & = \underline{\dfrac{1}{12} +\dfrac{1}{7} p_1}+\dfrac{1}{5} p_2 \\ & = \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{2}{21} = \dfrac{4}{35} \ , \\ \end{align}\] ここで, 下線部が \(1\) つ左または上の数字が丸で囲まれる確率に等しいことを用いれば \[\begin{align} p_4 & = p_3 +\dfrac{1}{3} p_3 = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{4}{35} = \dfrac{16}{105} \ , \\ p_5 & = p_4 +\dfrac{1}{2} p_4 = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{16}{105} = \underline{\dfrac{8}{35}} \end{align}\] 数字の配置より \[ p_6 = p_2 = \dfrac{2}{21} \ , \ p _ {10} = p_3 = \dfrac{4}{35} \] これらを用いて \[\begin{align} p_7 & = \dfrac{1}{12} +\dfrac{1}{5} p_2 +\dfrac{1}{5} p_6 \\ & = \dfrac{1}{12} +\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{21} \\ & = \dfrac{35 +16}{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7} = \dfrac{17}{140} \ , \\ p _ {11} & = \dfrac{1}{12} +\dfrac{1}{3} p_7 +\dfrac{1}{2} p _ {10} \\ & = \dfrac{1}{12} +\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{17}{140} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{35} \\ & = \dfrac{35 +17 +24}{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7} = \underline{\dfrac{1}{5}} \end{align}\]

(3)

\[ p _ {12} = p _ {10} +\dfrac{1}{2} p _ {10} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{35} = \dfrac{6}{35} \] \(5 , 9 , 11 , 12\) のいずれかが丸で囲まれてゲームが終了するので \[\begin{align} p_9 & = 1 -\left( p_5 +p _ {11} +p _ {12} \right) \\ & = 1 -\left( \dfrac{8}{35} +\dfrac{1}{5} +\dfrac{6}{35} \right) = \dfrac{2}{5} \end{align}\] よって, 求める最大値は \[ p_9 = \underline{\dfrac{2}{5}} \]

名古屋大理系2021：第4問

roundown — Tue, 23 Nov 2021 00:25:11 +0000

\(0 \leqq a \lt 1\) を満たす実数 \(a\) に対し, 数列 \(\{ a_n \}\) を \[ a_1 = a , \qquad a _ {n+1} = 3 \left[ a_n +\dfrac{1}{2} \right] -2 a_n \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] という漸化式で定める. ただし \([x]\) は \(x\) 以下の最大の整数を表す. 以下の問に答えよ.

(1)　\(a\) が \(0 \leqq a \lt 1\) の範囲を動くとき, 点 \(( x , y ) = ( a_1 , a_2 )\) の軌跡を \(xy\) 平面上に図示せよ.
(2)　\(a_n -[ a_n ] \geqq \dfrac{1}{2}\) ならば, \(a_n \lt a _ {n+1}\) であることを示せ.
(3)　\(a_n \gt a _ {n+1}\) ならば, \(a _ {n+1} = 3 [ a_n ] -2 a_n\) かつ \([ a _ {n+1} ] = [ a_n ] -1\) であることを示せ.
(4)　ある \(2\) 以上の自然数 \(k\) に対して, \(a_1 \gt a_2 \gt \cdots \gt a_k\) が成り立つとする. このとき \(a_k\) を \(a\) の式で表せ.

【解答】

(1)

条件より \[\begin{align} y & = 3 \left[ x +\dfrac{1}{2} \right] -2x \\ & = \left\{ \begin{array}{ll} -2x & \left( \ 0 \leqq a \lt \dfrac{1}{2} \text{のとき} \ \right) \\ -2x +3 & \left( \ \dfrac{1}{2} \leqq a \lt 1 \text{のとき} \ \right) \end{array} \right. \end{align}\]

よって, 求める軌跡は下図.

(2)

一般に \([ a_n ] \leqq a_n \lt [ a_n ] +1\) なので, 条件とあわせて \[ [ a_n ] +\dfrac{1}{2} \leqq a_n \lt [ a_n ] +1 \] これを用いて \[\begin{align} a _ {n+1} & = 3 \left[ a_n +\dfrac{1}{2} \right] -2 a_n \\ & \geqq 3 \left[ [ a_n ] +1 \right] -2 a_n \\ & = 3 \left( [ a_n ] +1 \right) -2 a_n \\ & \gt 3 a_n -2 a_n = a_n \end{align}\] すなわち \[ a_n \lt a _ {n+1} \]

(3)

(2) の結果の対偶をとれば \[ a _ n \geqq a _ {n+1} \ \Rightarrow \ a_n -[ a_n ] \lt \dfrac{1}{2} \] ゆえに, 条件より \[ [ a_n ] \leqq a_n \lt [ a_n ] +\dfrac{1}{2} \] このうち, \(a_ n = [ a_n ]\) のとき, \(a_n\) は整数で \(\left[ a_n +\dfrac{1}{2} \right] = a_n\) となり \[ a _ {n+1} = 3 a_n -2 a_n = a_n \] これは, 条件をみたさず不適.
したがって \[\begin{align} [ a_n ] & \lt a_n \lt [ a_n ] +\dfrac{1}{2} \quad ... [1] \\ \text{∴} \quad [ a_n ] +\dfrac{1}{2} & \lt a_n +\dfrac{1}{2} \lt [ a_n ] +1 \end{align}\] なので \[ \left[ a_n +\dfrac{1}{2} \right] = [ a_n ] \] したがって \[ a _ {n+1} = \underline{3 [ a_n ] -2 a_n} \quad ... [2] \] [1] を用いると \[\begin{align} a _ {n+1} & \gt 3 [ a_n ] -2 \left( [ a_n ] +\dfrac{1}{2} \right) = [ a_n ] -1 \ , \\ a _ {n+1} & \lt 3 [ a_n ] -2 [ a_n ] = [ a_n ] \end{align}\] すなわち \[ [ a_n ] -1 \lt a _ {n+1} \lt [ a_n ] \] よって \[ [ a _ {n+1} ] = \underline{[ a_n ] -1} \quad ... [3] \]

(4)

\(n = 1 , 2 , \cdots , k-1\) について, \(a_n \lt a _ {n+1}\) なので, [3] の結果より \[ [ a _ {n+1} ] = [ a_n ] -1 \quad ( n = 1 , 2 , \cdots , k-1 ) \] 数列 \(\{ [ a_n ] \}\) は, 初項 \([ a_1 ] = [ a ] = 0\) , 公差 \(-1\) の等差数列なので \[ [ a_n ] = -n+1 \] [2] に代入して \[\begin{align} a _ {n+1} & = -3n +3 -2 a_n \\ \text{∴} \quad a _ {n+1} +(n+1) -\dfrac{4}{3} & = -2 \left( a_n +n -\dfrac{4}{3} \right) \end{align}\] 数列 \(\left\{ a_n +n -\dfrac{4}{3} \right\}\) は, 初項 \(a_1 +1 -\dfrac{4}{3} = a -\dfrac{1}{3}\) , 公比 \(-2\) の等比数列なので \[\begin{align} a_n +n -\dfrac{4}{3} & = \left( a -\dfrac{1}{3} \right) (-2)^{n-1} \\ \text{∴} \quad a_n & = \left( a -\dfrac{1}{3} \right) (-2)^{n-1} -n +\dfrac{4}{3} \end{align}\] よって \[ a_k = \underline{\left( a -\dfrac{1}{3} \right) (-2)^{k-1} -k +\dfrac{4}{3}} \]

名古屋大理系2016：第1問

roundown — Sun, 05 Sep 2021 11:41:22 +0000

曲線 \(y = x^2\) 上に \(2\) 点 A \(( -2 , 4 )\) , B \(( b , b^2 )\) をとる. ただし \(b \gt -2\) とする. このとき, 次の条件を満たす \(b\) の範囲を求めよ.

条件： \(y = x^2\) 上の点 T \(( t , t^2 ) \ ( -2 \lt t \lt b )\) で, \(\angle \text{ATB}\) が直角になるものが存在する.

【解答】

A , B , T は互いに異なる点で, \[\begin{align} \text{AT の傾き} & = \dfrac{t^2 -4}{t+2} = t-2 \ , \\ \text{BT の傾き} & = \dfrac{t^2 -b^2}{t-b} = t+b \ . \end{align}\] AT と BT が直交するので \[\begin{align} ( t-2 ) ( t+b ) & = -1 \\ t^2 +(b-2) t -2b +1 & = 0 \quad ... [1] \ . \end{align}\] したがって, \(t\) の方程式 [1] が, \(-2 \lt t \lt b\) に解をもつための \(b\) の条件を求めればよい.
[1] の左辺を \(f(t)\) とおくと, \(y = f(t)\) は, 下に凸で, 直線 \(t = 1 -\dfrac{b}{2}\) を軸にもつ放物線である.
また \[\begin{align} f(-2) & = 4 -2(b-2) -2b +1 \\ & = -4b +9 \ , \\ f(b) & = b^2 +(b-2)b -2b +1 \\ & = 2b^2 -4b +1 \ . \end{align}\] 求める条件は, 下の 1* , 2* のいずれかのときである.

1*　\(f(-2) f(b) \lt 0 \ ... [2]\) .
2*　[1] の判別式 \(D\) について： \(D \geqq 0 \ ... [3]\) , 軸の位置について： \(-2 \lt 1 -\dfrac{b}{2} \lt b \ ... [4]\) , \(f(-2) \geqq 0 \ ... [5]\) , \(f(b) \geqq 0 \ ... [6]\) （ただし, \(f(-2) = f(b) = 0 \ ... [7] \) の場合を除く）.
1* について
[2] より \[\begin{align} ( -4b +9 ) ( 2b^2 -4b +1 ) & \lt 0 \\ \left( b -\dfrac{9}{4} \right) \left\{ b -\left( 1 -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \right\} \left\{ b -\left( 1 +\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \right\} & \gt 0 \\ \text{∴} \quad 1 -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \lt b \lt 1 +\dfrac{\sqrt{2}}{2} & , \ \dfrac{9}{4} \lt b \ . \end{align}\]
2* について
[3] より \[\begin{align} D & = (b-2)^2 +4 (2b-1) \\ & = b (b+4) \geqq 0 \\ \text{∴} \quad b & \geqq 0 \quad ( \ \text{∵} \ b \gt -2 \ ) \ . \end{align}\] [4] より \[ \dfrac{1}{3} \lt b \lt 6 \ . \] [5] より \[ b \leqq 1 -\dfrac{\sqrt{2}}{2} , \ 1 +\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leqq b \ . \] [6] より \[ b \leqq \dfrac{9}{4} \ . \] [7] をみたす \(b\) は存在しない.
以上から \[ 1 +\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leqq b \leqq \dfrac{9}{4} \ . \]

1* , 2* より, 求める \(b\) の条件は \[ \underline{1 -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \lt b} \ . \]

名古屋大理系2016：第2問

roundown — Sun, 05 Sep 2021 11:43:45 +0000

\(2\) つの円 \(C : \ (x-1)^2 +y^2 = 1\) と \(D : \ (x+2)^2 +y^2 = 7^2\) を考える. また原点を O \(( 0 , 0 )\) とする. このとき, 次の問に答えよ.

(1)　円 \(C\) 上に, \(y\) 座標が正であるような点 P をとり, \(x\) 軸の正の部分と線分 OP のなす角を \(\theta\) とする. このとき, 点 P の座標と線分 OP の長さを \(\theta\) を用いて表せ.
(2)　(1) でとった点 P を固定したまま, 点 Q が円 \(D\) 上を動くとき, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積が最大になるときの Q の座標を \(\theta\) を用いて表せ.
(3)　点 P が円 \(C\) 上を動き, 点 Q が円 \(D\) 上を動くとき, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積の最大値を求めよ.

ただし, (2) , (3) においては, \(3\) 点 O , P , Q が同一直線上にあるときは, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積は \(0\) であるとする.

【解答】

(1)

\(r = \text{OP}\) とおけば, P の座標は \(( r \cos \theta , r \sin \theta )\) とあらわせる.
また, P は第 \(1\) 象限にあるので, \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) ... [1] .
円 \(C\) の中心を A \(( 1 , 0 )\) とおけば, \(\triangle \text{AOP}\) は二等辺三角形なので \[ \text{OP} = r = \underline{2 \cos \theta} \ . \] また \[ \text{P} \ \underline{\left( \cos 2 \theta +1 , \sin 2 \theta \right)} \ . \]

(2)

円 \(D\) の中心を B \(( -2 , 0 )\) とおく.
\(\triangle \text{OPQ}\) の面積が最大となるのは, Q が直線 OP から最も離れたとき, つまり Q が OP より B 側にあり, OP と傾きの等しい \(D\) の接線との接点となったときである.
このとき, OQ が \(x\) 軸正方向となす角は \(\theta +\dfrac{\pi}{2}\) である.
よって, 求める Q の座標は \[ \left( -2 +7 \cos \left( \theta +\dfrac{\pi}{2} \right) , 7 \sin \left( \theta +\dfrac{\pi}{2} \right) \right) \] すなわち \[ \underline{\left( -2 -7 \sin \theta , 7 \cos \theta \right)} \ . \]

(3)

(2) のように, 点 P を固定して考える.
このとき, 直線 OP と BQ は直交し, その交点を E とおくと \[ \text{BE} = 2 \sin \theta \ . \] したがって, \(\triangle \text{OPQ}\) の面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \dfrac{1}{2} \left( 2 \cos \theta \right) \left( 7 +2 \sin \theta \right) \\ & = \cos \theta \left( 7 +2 \sin \theta \right) \ . \end{align}\] つづいて, 点 P を動かして考えると, \(f( \theta ) = S\) とおいて, [1] の範囲における, \(f( \theta )\) の最大値を求めればよい. \[\begin{align} f'( \theta ) & = -\sin \theta \left( 7 +2 \sin \theta \right) +2 \cos^2 \theta \\ & = -4 \sin^2 \theta -7 \sin \theta +2 \\ & = -\left( 4 \sin \theta -1 \right) \left( \sin \theta +2 \right) \ . \end{align}\] [1] において, \(\sin \theta\) は単調増加なので, \(f( \theta )\) の増減は下表のとおり. \[ \begin{array}{c|ccccc} \theta & ( 0 ) & \cdots & \alpha & \cdots & \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \\ \hline f'( \theta ) & & + & 0 & - & \\ \hline f( \theta ) & ( 7 ) & \nearrow & \text{最大} & \searrow & ( 0 ) \end{array} \] ただし, \(\sin \alpha = \dfrac{1}{4} \ \left( 0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) とおいた.
\(\cos \alpha = \sqrt{1 -\left( \dfrac{1}{4} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{15}}{4}\) なので, 求める最大値は \[ f( \alpha ) = \dfrac{\sqrt{15}}{4} \left( 7 +2 \cdot \dfrac{1}{4} \right) = \underline{\dfrac{15 \sqrt{15}}{8}} \ . \]

名古屋大理系2016：第3問

roundown — Sun, 05 Sep 2021 11:51:51 +0000

玉が \(2\) 個ずつ入った \(2\) つの袋 A , B があるとき, 袋 B から玉を \(1\) 個取り出して袋 A に入れ, 次に袋 A から玉を \(1\) 個取り出して袋 B に入れる, という操作を \(1\) 回の操作と数えることにする. A に赤玉が \(2\) 個, B に白玉が \(2\) 個入った状態から始め, この操作を \(n\) 回繰り返した後に袋 B に入っている赤玉の個数が \(k\) 個である確率を \(P _ n (k) \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) とする. このとき, 次の問に答えよ.

(1)　\(k = 0, 1, 2\) に対する \(P _ 1 (k)\) を求めよ.
(2)　\(k = 0, 1, 2\) に対する \(P _ n (k)\) を求めよ.

【解答】

(1)

袋 B に赤玉が \(k\) 個入っている状態を \(S_k \ ( k = 0 , 1 , 2 )\) とおく.
\(S_0 , S_1 , S_2\) からの \(1\) 回の操作を行うと, それぞれ下図に示す確率で遷移する.

ゆえに, \(n \geqq 0\) に対して \[\begin{align} P_ {n+1} (0) & = \dfrac{1}{3} P_n (0) & +\dfrac{1}{6} P_n (1) & \quad & \quad ... [1] \ , \\ P_ {n+1} (1) & = \dfrac{2}{3} P_n (0) & +\dfrac{2}{3} P_n (1) & +\dfrac{2}{3} P_n (2) & \quad ... [2] \ , \\ P_ {n+1} (2) & = \quad & +\dfrac{1}{6} P_n (1) & +\dfrac{1}{3 } P_n (2) & \quad ... [3] \ . \end{align}\] [2] より, \(n\geq 1\) について \[ P_n (1) = \dfrac{2}{3} \quad ( \ \text{∵} \ P_n (0) +P_n (1) +P_n (2) = 1 \ ) \quad ... [4] \ . \] 初めの状態から, \(P_0 (0) = 1\) , \(P_0 (1) = P_0 (2) = 0\) なので, [1] ～ [3] より \[ P_1 (0) = \underline{\dfrac{1}{3}} , \ P_1 (1) = \underline{\dfrac{2}{3}} , \ P_1 (2) = \underline{0} \ . \]

(2)

[4] より \[ P_n (1) = \underline{\dfrac{2}{3}} \ . \] [1] , [4] より \[\begin{align} P_ {n+1} (0) & = \dfrac{1}{3} P_n (0) +\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{2}{3} \\ \text{∴} \quad P_ {n+1} (0) -\dfrac{1}{6} & = -\dfrac{1}{3} \left( P_n (0) -\dfrac{1}{6} \right) \ . \end{align}\] 数列 \(\left\{ P_n (0) -\dfrac{1}{6} \right\}\) は, 初項 \(P_1 (0) -\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{6}\) , 公比 \(\dfrac{1}{3}\) の等比数列なので \[\begin{align} P_n (0) -\dfrac{1}{6} & = \dfrac{1}{6} \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n-1} \\ \text{∴} \quad P_n (0) & = \underline{\dfrac{1}{6} +\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n} \ . \end{align}\] また \[\begin{align} P_n (2) & = 1 -P_n (0) -P_n (1) \\ & = \underline{\dfrac{1}{6} -\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n} \ . \end{align}\]

名古屋大理系2016：第4問

roundown — Sun, 05 Sep 2021 12:01:46 +0000

次の問に答えよ. ただし \(2\) 次方程式の重解は \(2\) つと数える.

(1)　次の条件 (＊) を満たす整数 \(a , b , c , d , e , f\) の組をすべて求めよ. \[ \text{(＊)} \ \left\{ \begin{array}{l} 2 \text{ 次方程式 } x^2 +ax +b = 0 \text{ の } 2 \text{ つの解が } c , d \text{ である. } \\ 2 \text{ 次方程式 } x^2 +cx +d = 0 \text{ の } 2 \text{ つの解が } e , f \text{ である. } \\ 2 \text{ 次方程式 } x^2 +ex +f = 0 \text{ の } 2 \text{ つの解が } a , b \text{ である. } \end{array} \right. \]
(2)　\(2\) つの数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) は, 次の条件 (＊＊) を満たすとする.
1. (＊＊)　すべての正の整数 \(n\) について, \(a _ n , b _ n\) は整数であり, \(2\) 次方程式 \(x^2 +a _ n x +b _ n = 0\) の \(2\) つの解が \(a _ {n+1} , b _ {n+1}\) である.

　このとき

(i)　正の整数 \(m\) で, \(| b _ m | = | b _ {m+1} | = | b _ {m+2} | = \cdots\) となるものが存在することを示せ.
(ii)　条件 (＊＊) を満たす数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) の組をすべて求めよ.

【解答】

(1)

(＊) の各式について, 解と係数の関係より \[\begin{align} a & = -c-d \quad ... [1] \ , \ b = cd \quad ... [2] \ , \\ c & = -e-f \quad ... [3] \ , \ d = ef \quad ... [4] \ , \\ e & = -a-b \quad ... [5] \ , \ f = ab \quad ... [6] \ . \end{align}\] [5] , [6] を [3] , [4] に代入して \[\begin{align} c & = a +b -ab \quad ... [7] \ , \\ d & = -ab ( a+b ) \quad ... [8] \ . \end{align}\] これをさらに [1] , [2] に代入して \[\begin{align} a & = - (a+b ) +ab +ab ( a+b ) \quad ... [9] \ , \\ b & = - ab ( a+b ) ( a+b -ab ) \quad ... [10] \ . \end{align}\]

1*　\(b = 0\) のとき
[10] は成立して, [9] に代入すると \[\begin{align} a & = -a \\ \text{∴} \quad a & = 0 \ . \end{align}\] このとき, [5] ～ [8] より \[ c = d = e = f = 0 \ . \]
2*　\(b \neq 0\) のとき
[8] の両辺を \(b\) で割って \[ -a ( a+b ) ( a +b -ab ) = 1 \ . \] 左辺は \(3\) つの整数の積であり, それぞれ \(1 , -1\) のいずれかである.
1. (あ)　\(a = 1\) のとき
  \[\begin{align} ( b+1 ) \cdot 1 & = -1 \\ \text{∴} \quad b & = -2 \ . \end{align}\] このとき, [5] ～ [8] より \[ c = e = 1 , \quad d = f = -2 \ . \]
2. (い)　\(a = -1\) のとき \[\begin{align} ( b-1 ) ( 2b -1 ) & = 1 \\ b ( 2b -3 ) & = 0 \\ \text{∴} \quad b & = \dfrac{3}{2} \quad ( \ \text{∵} \quad b \neq 0 \ ) \ . \end{align}\] これは整数ではないので, 不適.

以上より, 求める組は \[ ( a , b , c , d , e , f ) = \underline{( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , -2 , 1 , -2 , 1 , -2 )} \ . \]

(2)

(i)

(＊＊) の \(2\) 次方程式について, 解と係数の関係より \[ a_n = -a _ {n+1} -b _ {n+1} \quad ... [11] \ , \quad b_n = a _ {n+1} b _ {n+1} \quad ... [12] \ . \] [12] より, 「 \(b_n \neq 0\) ならば \(a _ {n+1} \neq 0\) かつ \(b _ {n+1} \neq 0\)」... [13] なので, 次のように場合分けして考える.

1*　\(b_n = 0 \ ( n \geqq 1 )\) のとき
\(| b_n | = 0\) となるので, 条件を満たす \(m (=1)\) が存在する.
2*　ある自然数 \(N\) について, \(b_n \neq 0 \ ( n \geqq N )\) となるとき
[12] より, \(| b_n | = | a _ {n+1} | | b _ {n+1} |\) で, [13] より, \(| b_n | , | a _ {n+1} | , | b _ {n+1} |\) はすべて正の整数なので \[ | b_n | \geqq | b _ {n+1} | \ . \] したがって, 数列 \(\{ b_n \}\) は, \(n \geqq N\) において単調減少する.
条件を満たす \(m\) が存在しないと仮定すると,
\(| b_n |\) は整数値をとるので, どこまでも小さくなっていくが, これは \(| b_n | \geqq 1\) であることに矛盾する.
ゆえに, 条件を満たす \(m\) が存在する.

以上より, 題意は示された.

(ii)

(i) と同じ場合分けをして考える.

1* のとき
[11] より, \(a _ {n+1} = -a_n\) なので,
数列 \(\{ a_n \}\) は, 初項 \(a_1 = k \ ( k \ \text{は整数} )\) , 公比 \(-1\) の等比数列であり \[ a_n = (-1)^{n-1} k \ . \]
2* のとき
\(| b_m | = \ell\) とおく.
\(n \geqq m\) において, \(| a_n | = | a_ {n+1} |\) なので, \( n \geqq m+1\) において \[ | a_n | = 1 \quad ... [14] \ . \] \(2\) 次方程式の判別式 \(D\) について \[ D = {a_n}^2 -4 b_n \geqq 0 \ . \] なので, [14] より, \(n \geqq m+1\) において \[ b_n \leqq \dfrac{1}{4} \ . \] つまり \[ b_n = -\ell \quad ... [15] \ . \] [12] [14] より, \(n \geqq m+2\) において \[ a_n = 1 \quad ... [16] \ . \] [11] [15] [16] より, \(n \geqq m+3\) において \[\begin{align} 1 & = -1 +\ell \\ \text{∴} \quad \ell & = 2 \\ \text{∴} \quad ( a_n , b_n ) & = ( 1 , -2 ) \ . \end{align}\] \(( a _ {n+1} , b _ {n+1} ) = ( 1 , -2 )\) であれば, [11] [12] より \[ ( a_n , b_n ) = ( 1 , -2 ) \ . \] なので, これを繰返し用いれば, 結局 \(n \geqq 1\) に対して \[ ( a_n , b_n ) = ( 1 , -2 ) \ . \]

以上より, 求める数列の組は \[ ( a_n , b_n ) = \underline{( 1 , -2 ) , \left( (-1)^{n-1} k , 0 \right) \quad ( k \text{は整数} \ )} \ . \]

名古屋大理系 - 大学入試数学の資料集

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