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【 解 答 】

\(g(x) = t \cdot \dfrac{e^x +e^{-x}}{2} +f(t) -(1+x)\) とおく. \[ g'(x) = t \cdot \dfrac{e^x -e^{-x}}{2} -1 \ . \] \(g'(x) = 0\) をとくと, \(t \gt 0\) なので \[\begin{align} e^x -e^{-x} & = \dfrac{2}{t} \\ t e^{2x} -2 e^x -t & = 0 \\ \text{∴} \quad e^x = \dfrac{1 +\sqrt{t^2 +1}}{t} & \quad ( \ \text{∵} \quad e^x \gt 0 \ ) \ . \end{align}\] このときの \(x\) の値を \(\alpha \left( = \log \left( 1 +\sqrt{t^2 +1} \right) -\log t \right)\) とおくと \[ e^{-\alpha} = e^{\alpha} -\dfrac{t}{2} = \dfrac{-1 +\sqrt{t^2 +1}}{t} \ . \] したがって

• \(x \lt \alpha\) のとき, \(g'(x) \lt 0\)

• \(x \gt \alpha\) のとき, \(g'(x) \gt 0\)

ゆえに, \(g(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccc} x & \cdots & \alpha & \cdots \\ \hline g'(x) & - & 0 & + \\ \hline g(x) & \searrow & \text{最小} & \nearrow \end{array} \] したがって, 条件 (ア) (イ) をみたすための条件は \[ g( \alpha ) = 0 \ . \] これをとくと \[ t \cdot \dfrac{2 \sqrt{t^2 +1}}{2t} +f(t) -\left( 1 +\log \left( 1 +\sqrt{t^2 +1} \right) -\log t \right) = 0 \\ \text{∴} \quad f(t) = \underline{\log \left( 1 +\sqrt{t^2 +1} \right) -\log t -\sqrt{t^2 +1} +1} \ . \]

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【 解 答 】

\(S = \textstyle\sum\limits _ {n=1}^{40000} \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) とおく.
関数 \(y = \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) は \(x \gt 0\) において単調減少なので \[ \underline{\displaystyle\int _ 0^{40000} \dfrac{dx}{\sqrt{x+1}}} _ {[1]} \lt S \lt 1 +\underline{\displaystyle\int _ 1^{40000} \dfrac{dx}{\sqrt{x}}} _ {[2]} \quad ... [3] \ . \] ここで \[\begin{align} [1] & = \left[ 2 \sqrt{x+1} \right] _ 0^{40000} \\ & = 2 \sqrt{40001} -2 \gt 398 \\ [2] & = \left[ 2 \sqrt{x} \right] _ 1^{40000} \\ & = 400 -2 = 398 \ . \end{align}\] したがって, [3] とあわせて \[ 398 \lt S \lt 399 \ . \] よって, \(S\) の整数部分は, \(\underline{389}\)

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【 解 答 】

(1)

\(S _ 1 , T _ 1 , T _ 2\) の中心をそれぞれ O , P , Q , \(S _ 1\) と \(S _ 2\) , \(T _ 1\) と \(T _ 2\) の接点をそれぞれ R , S とおく.
このとき, \(\text{OP} = 1+r _ n\) であり, \(\text{PR} = d _ n\) とおくと \[ d _ n = \sqrt{(1+r _ n)^2 -1^2} = \sqrt{r _ n ( r _ n +2 )} \quad ... [1] \ . \] △PRS に着目すれば \[ \sin \dfrac{\pi}{n} = \dfrac{r _ n}{d _ n} = \sqrt{\dfrac{r _ n}{r _ n +2}} \ . \] 両辺を平方すれば \[\begin{align} \dfrac{r _ n}{r _ n +2} & = \sin^2 \dfrac{\pi}{n} \\ \left( 1 -\sin^2 \dfrac{\pi}{n} \right) r _ n & = \sin^2 \dfrac{\pi}{n} \\ \text{∴} \quad r _ n & = \underline{2 \tan^2 \dfrac{\pi}{n}} \ . \end{align}\]

(2) \[ W _ n = \dfrac{4n \pi}{3} {r _ n}^3 \quad ... [2] \ . \] \(T _ 1\) の回転体は, 中心 \(( 0 , d _ n )\) , 半径 \(r _ n\) の円 \(C _ n\) を \(x\) 軸のまわりの回転体である.
\(C _ n\) の式について \[\begin{align} x^2 & + \left( y -d _ n \right)^2 = {r _ n}^2 \\ \text{∴} \quad y & = d _ n \pm \sqrt{{r _ n}^2 -y^2} \quad ... [3] \ . \end{align}\] [3] の複号のうち, 正, 負をとるときの式をそれぞれ \(y _ {+} , y _ {-}\) とおくと \[\begin{align} V _ n & = 2 \pi \displaystyle\int _ 0^{r _ n} \left( {y _ {+}}^2 -{y _ {-}}^2 \right) \, dx \\ & = 2 \pi \cdot 4 d _ n \underline{\displaystyle\int _ 0^{r _ n} \sqrt{{r _ n}^2 -y^2} \, dx} _ {[4]} \\ & = 8 \pi d _ n \cdot \dfrac{\pi {r _ n}^2}{4} \\ & = 2 \pi^2 d _ n {r _ n}^2 \quad ... [5] \ . \end{align}\] ここで, 下線部 [4] は, 半径 \(r _ n\) の四分円の面積を表すことを用いた.
したがって, [2] [5] より \[\begin{align} \dfrac{W _ n}{V _ n} & = \dfrac{2n r _ n}{3 \pi d _ n} \\ & = \dfrac{2}{3 \pi} \sqrt{\underline{\dfrac{n^2 r _ n}{r _ n +2}} _ {[6]}} \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \ . \end{align}\] ここで, 下線部 [6] について, (1) の結果を用いれば \[\begin{align} [6] & = \dfrac{n^2 \tan^2 \frac{\pi}{n}}{1 +\tan^2 \frac{\pi}{n}} \\ & = n^2 \cdot \sin^2 \dfrac{\pi}{n} \\ & = \pi^2 \cdot \left( \dfrac{\sin \frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}} \right)^2 \\ & \rightarrow \pi^2 \quad ( \ n \rightarrow \infty \text{のとき} \ \ ) \ . \end{align}\] よって, 求める極限値は \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{W _ n}{V _ n} = \dfrac{2}{3 \pi} \cdot \pi = \underline{\dfrac{2}{3}} \ . \]

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【 解 答 】

(1)

\(n\) 回目まで, \(5\) が出なければよいので \[ p _ n +q _ n = \underline{\left( \dfrac{5}{6} \right)^n} \ . \]

(2)

\(T _ n\) を \(5\) で割った余りを \(R _ n\) とおく.
\(R _ n = 1 , 2 , 3 , 4\) のそれぞれについて, \(X _ {n+1}\) に応じて \(R _ {n+1} = 1\) となる場合を調べると, 下表のようになる. \[ \begin{array}{c|cccccc} X _ {n+1} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline R _ n = 1 & \circ & - & - & - & - & \circ \\ \hline R _ n = 2 & - & - & \circ & - & - & - \\ \hline R _ n = 3 & - & \circ & - & - & - & - \\ \hline R _ n = 4 & - & - & - & \circ & - & - \end{array} \] ゆえに \[\begin{align} p _ {n+1} & = \dfrac{1}{3} p _ n +\dfrac{1}{6} \left\{ \left( \dfrac{5}{6} \right)^n -p _ n \right\} \\ & = \underline{\dfrac{1}{6} p _ n +\dfrac{1}{6} \left( \dfrac{5}{6} \right)^n} \ . \end{align}\]

(3)

(2) の結果に対して, 両辺に \(\left( \dfrac{6}{5} \right)^{n+1}\) をかけると \[\begin{align} r _ {n+1} & = \dfrac{1}{5} r _ n +\dfrac{1}{5} \\ \text{∴} \quad r _ {n+1} -\dfrac{1}{4} & = \dfrac{1}{5} \left( r _ n -\dfrac{1}{4} \right) \ . \end{align}\] したがって, 数列 \(\left\{ r _ n -\dfrac{1}{4} \right\}\) は, 初項 \(r _ 1 -\dfrac{1}{4} = \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{20}\) , 公比 \(\dfrac{1}{5}\) の等比数列なので \[\begin{align} r _ n -\dfrac{1}{4} & = \dfrac{3}{20} \left( \dfrac{1}{5} \right)^{n-1} \\ \text{∴} \quad r _ n & = \dfrac{1}{4} +\dfrac{3}{4} \left( \dfrac{1}{5} \right)^n \ . \end{align}\] よって \[ p _ n = \left( \dfrac{5}{6} \right)^n r^n = \underline{\dfrac{1}{4} \left( \dfrac{5}{6} \right)^n +\dfrac{3}{4} \left( \dfrac{1}{6} \right)^n} \ . \]

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【 解 答 】

上図のような単位円を考え, A \((1,0)\) , B \(( \cos x , \sin x )\) , C \(( 1 , \tan x ) \ \left( 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) とおく.
このとき, \(3\) つの図形 △OAB , △OAC , 扇形 OAB の面積をそれぞれ \(S _ 1 , S _ 2 , S\) とおくと \[ S _ 1 \lt S \lt S _ 2 \] が成立する. それぞれを \(x\) を用いて表せば \[\begin{align} \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin x & \lt \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot x \lt \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x \\ \sin x & \lt x \lt \tan x \\ \text{∴} \quad 1 & \lt \dfrac{x}{\sin x} \lt \dfrac{1}{\cos x} \quad ( \ \text{∵} \ \sin x \gt 0 \ ) \ . \end{align}\] ここで, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow +0} \dfrac{1}{\cos x} = 1\) なので, はさみうちの原理より \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {x \rightarrow +0} \dfrac{x}{\sin x} & = 1 \\ \text{∴} \quad \displaystyle\lim _ {x \rightarrow +0} \dfrac{\sin x}{x} & = 1 \quad ... [1] \ . \end{align}\] つづいて, \(x \lt 0\) の場合について考える.
\(x = -t\) とおくと, \(t \gt 0\) であり \[ \dfrac{\sin x}{x} = \dfrac{- \sin t}{-t} = \dfrac{\sin t}{t} \ . \] なので, [1] を用いれば \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow -0} \dfrac{\sin x}{x} = \displaystyle\lim _ {t \rightarrow +0} \dfrac{\sin t}{t} = 1 \quad ... [2] \ . \] よって, [1] [2] より \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \ . \] これを用いれば, \(\sin x\) の導関数 \(( \sin x )'\) は, 導関数の定義式から \[\begin{align} ( \sin x )' & = \displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} \dfrac{\sin (x+h) -\sin x}{h} \\ & = \displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} \dfrac{2 \cos \left( x+\frac{h}{2} \right) \sin \frac{h}{2}}{h} \\ & = \displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} \dfrac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \cdot \cos \left( x+\dfrac{h}{2} \right) \\ & = 1 \cdot \cos x \\ & = \cos x \ . \end{align}\]

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【 解 答 】

\(F(x,y) = \left| |x|-2 \right| +\left| |y|-2 \right|\) とおき, \(1 \leqq F(x,y) \leqq 3\) の示す領域を \(R\) とおくと \[ F( -x , y ) = F( x , -y ) = F(x,y) \ . \] なので, 「領域 \(R\) は \(x\) 軸と \(y\) 軸について対称である. 」... [1] ここで, \(x \geqq 0\) , \(y \geqq 0\) の場合について考える.
\(G(x,y) = |x-2|+|y-2|\) とおき, \(1 \leqq G(x,y) \leqq 3\) の示す領域を \(R'\) とおくと \[ G( 4-x , y ) = G( x , 4-y ) = G(x,y) \ . \] なので, 「領域 \(R'\) は直線 \(x = 2\) , 直線 \(y = 2\) について対称である. 」... [2] さらに, \(x \geqq 2\) , \(y \geqq 2\) の場合について考えると, \[\begin{align} 1 \leqq (x-2)+(y-2) & \leqq 3 \\ \text{∴} \quad 5-x \leqq y & \leqq 7-x \quad ... [3] \ . \end{align}\] [3] の示す領域は下図斜線部（境界含む）.

[2] より, 領域 \(R'\) は下図斜線部（境界含む）.

よって, [1] より, 求める領域 \(R\) は下図斜線部（境界含む）.

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【 解 答 】

\(n\) を \(3\) を法とする剰余に分類して考える.

1. 1*　\(n \equiv 0 \ ( \mod 3 )\) のとき \[ n^3+3 \equiv 0^3+3 \equiv 0 \quad ( \mod 3 ) \ . \] \(n \gt 0\) なので, \(n^3+3\) は \(3\) ではない \(3\) の倍数となる.

2. 2*　\(n \equiv 1 \ ( \mod 3 )\) のとき \[ n^5+5 \equiv 1^5+5 \equiv 0 \quad ( \mod 3 ) \ . \] \(n \gt 0\) なので, \(n^5+5\) は \(3\) ではない \(3\) の倍数となる.

3. 3*　\(n \equiv -1 \ ( \mod 3 )\) のとき \[ n^7+1 \equiv (-1)^7+7 \equiv 0 \quad ( \mod 3 ) \ . \] \(n \gt 0\) なので, \(n^7+7\) は \(3\) ではない \(3\) の倍数となる.

以上より, 任意の正の整数 \(n\) に対して, \(n^3+3 , n^5+5 , n^7+7\) のいずれかが, \(3\) でない \(3\) の倍数になり, すべてが素数となることはない.

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【 解 答 】

体積を求める立体を \(W\) とおく.
\(V , W\) はともに平面 \(y=0\) について対称なので, \(y \geqq 0\) の部分について考える.

\(V\) の平面 \(y = t \ ( 0 \leqq t \leqq 1)\) による断面は, 下図斜線部のようになる.

これを \(y\) 軸（上図では原点）中心に回転させた図形が, \(W\) の平面 \(y = t\) による断面であり, その面積を \(S(t)\) とおくと \[\begin{align} S(t) & = \pi \left\{ \left( 2-t^2 \right) -t^2 \right\} \\ & = 2 \pi \left( 1-t^2 \right) \ . \end{align}\] よって, \(W\) の体積は \[\begin{align} 2 \displaystyle\int _ 0^1 S(t) \, dt & = 4 \pi \displaystyle\int _ 0^1 \left( 1-t^2 \right) \, dt \\ & = 4 \pi \left[ t -\dfrac{t^3}{3} \right] _ 0^1 \\ & = \underline{\dfrac{8 \pi}{3}} \ . \end{align}\]

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