東工大 - 大学入試数学の資料集

東工大2021：第1問

roundown — Wed, 17 Nov 2021 23:44:36 +0000

正の整数に関する条件

(＊)　\(10\) 進法で表したときに, どの位にも数字 \(9\) が現れない.

を考える. 以下の問いに答えよ.

(1)　\(k\) を正の整数とするとき, \(10^{k-1}\) 以上かつ \(10^k\) 未満であって条件 (＊) を満たす正の整数の個数を \(a_k\) とする. このとき, \(a_k\) を \(k\) の式で表せ.
(2)　正の整数 \(n\) に対して, \[ b_n = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{n} & ( \ n \ \text{が条件 (＊) を満たすとき} \ ) \\ 0 & ( \ n \ \text{が条件 (＊) を満たさないとき} \ ) \end{array} \right. \] とおく. このとき, すべての正の整数 \(k\) に対して次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \textstyle\sum\limits _ {n=1}^{10^k -1} b_n \lt 80 \]

【解答】

(1)

\(10^{k-1}\) 以上 \(10^k\) 未満, すなわち \(k\) 桁の整数のうち, 条件を満たすものは

\(10^{k-1}\) の位の数字が \(1\) ～ \(8\)
他の位の数字が \(0\) ～ \(8\)

なので, 求める個数は \[ a_k = \underline{8 \cdot 9^{k-1}} \]

(2)

\(S _ m = \textstyle\sum\limits _ {\ell = 10^{m-1}}^{10^m -1} b_\ell\) とおく.
\(10^{m-1} \leqq \ell \leqq 10^m -1\) において \[ b _ \ell \leqq \dfrac{1}{10^{m-1}} \] なので, (1) の結果より \[ S _ m \leqq \dfrac{a _ m}{10^{m-1}} = 8 \left( \dfrac{9}{10} \right)^{m-1} \] よって \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {n=1}^{10^k -1} b_n & = \textstyle\sum\limits _ {m=1}^{k} S _ m \\ & \leqq 8 \cdot \dfrac{1 -\left( \dfrac{9}{10} \right)^k}{1 -\dfrac{9}{10}} \\ & = 80 \left\{ 1 -\left( \dfrac{9}{10} \right)^k \right\} \lt 80 \end{align}\] すなわち \[ \textstyle\sum\limits _ {n=1}^{10^k -1} b_n \lt 80 \]

東工大2021：第2問

roundown — Wed, 17 Nov 2021 23:45:28 +0000

\(xy\) 平面上の楕円 \[ E : \ \dfrac{x^2}{4} +y^2 = 1 \] について, 以下の問いに答えよ.

(1)　\(a , b\) を実数とする. 直線 \(\ell : y = ax +b\) と楕円 \(E\) が異なる \(2\) 点を共有するための \(a , b\) の条件を求めよ.
(2)　実数 \(a , b , c\) に対して, 直線 \(\ell : y = ax +b\) と直線 \(m : y = ax +c\) が, それぞれ楕円 \(E\) と異なる \(2\) 点を共有しているとする. ただし, \(b \gt c\) とする. 直線 \(\ell\) と楕円 \(E\) の \(2\) つの共有点のうち \(x\) 座標の小さい方を P , 大きい方を Q とする. また, 直線 \(m\) と楕円 \(E\) の \(2\) つの共有点のうち \(x\) 座標の小さい方を S , 大きい方を R とする. このとき, 等式 \[ \overrightarrow{\text{PQ}} = \overrightarrow{\text{SR}} \] が成り立つための \(a , b , c\) の条件を求めよ.
(3)　楕円 \(E\) 上の \(4\) 点の組で, それらを \(4\) 頂点とする四角形が正方形であるものをすべて求めよ.

【解答】

(1)

\(E\) と \(\ell\) の式から \(y\) を消去すると \[\begin{align} \dfrac{x^2}{4} +\left( ax +b \right)^2 & = 1 \\ x^2 +4 ( a^2 x^2 +2abx +b^2 ) & = 4 \\ \text{∴} \quad ( 4a^2 +1 ) x^2 +8abx +4 (b^2 -1 ) & = 0 \quad ... [1] \end{align}\] これが異なる \(2\) 実数解を持てばよいので, 判別式を \(D\) について \[\begin{align} \dfrac{D}{4} & = ( 4ab )^2 -( 4a^2 +1 ) \cdot 4 ( b^2 -1 ) \\ & = 16 a^2 b^2 -( 16 a^2 b^2 -16 a^2 +4b^2 -4 ) \\ & = 4 ( 4a^2 -b^2 +1 ) \gt 0 \\ & \qquad \text{∴} \quad b^2 \lt 4a^2 +1 \\ & \qquad \text{∴} \quad \underline{-\sqrt{4a^2 +1} \lt b \lt \sqrt{4a^2 +1}} \end{align}\]

(2)

[1] の \(2\) 解を \(p , q \ ( p\lt q )\) とおくと, これは P, Q の \(x\) 座標である.
同様に, S, R の \(x\) 座標を \(s , r \ ( s \lt r )\) とおく.
\(\ell\) と \(m\) の傾きは等しいので, \(\overrightarrow{\text{PQ}} = \overrightarrow{\text{SR}}\) が成立する条件は \[ q-p = r-s\quad ... [2] \] [1] をとくと \[ x = \dfrac{-8ab \pm \sqrt{\dfrac{D}{4}}}{4a^2 +1} \] なので \[ q-p = \dfrac{\sqrt{D}}{4a^2 +1} = \dfrac{2 \sqrt{4a^2 -b^2 +1}}{4a^2 +1} \] 同様に考えれば \[ r-s = \dfrac{2 \sqrt{4a^2 -c^2 +1}}{4a^2 +1} \] なので, [2] に代入して \[\begin{align} \dfrac{2 \sqrt{4a^2 -b^2 +1}}{4a^2 +1} & = \dfrac{2 \sqrt{4a^2 -c^2 +1}}{4a^2 +1} \\ 4a^2 -b^2 +1 & = 4a^2 -c^2 +1 \\ c^2 & = b^2 \\ \text{∴} \quad c & = \pm b \end{align}\] \(b \gt c\) であることに注意すれば \[ c = -b \ , \ b \gt 0 \] よって, (1) の結果もあわせて, 求める条件は \[ \underline{c = -b \ , \ 0 \lt b \lt \sqrt{4a^2 +1}} \]

(3)

P, Q, R, S が正方形となるのは, \(\triangle \text{OPQ}\) が直角二等辺三角形となる, すなわち \[ \left\{ \begin{array}{ll} \text{OP} = \text{OQ} & ... [3] \\ \angle \text{POQ} = \dfrac{\pi}{2} & ... [4] \end{array} \right. \] が成立するとき.

[3] について \[\begin{align} \text{OP} & = p^2 +( ap +b )^2 \\ & = ( a^2 +1 ) p^2 +2ab p +b^2 \end{align}\] OQ についても同様に考えて, [3] に代入すると \[\begin{align} ( a^2 +1 ) p^2 +2ab p +b^2 & = ( a^2 +1 ) q^2 +2ab q +b^2 \\ ( a^2 +1 ) ( p^2 -q^2 ) +2ab ( p-q )& = 0 \\ ( p-q ) \left\{ ( a^2 +1 ) (p+q) +2ab \right\} & = 0 \\ \text{∴} \quad p+q = -\dfrac{2ab}{a^2 +1} & \quad ... [5] \end{align}\] [1] について, 解と係数の関係から \[ p+q = -\dfrac{8ab}{4 a^2 +1} \quad ... [6] \] したがって, [5] [6] より \[\begin{align} -\dfrac{2ab}{a^2 +1} & = -\dfrac{8ab}{4 a^2 +1} \\ 4ab ( a^2 +1 ) & = ab ( 4 a^2 +1 ) \\ 3ab & = 0 \\ \text{∴} \quad a & = 0 \quad ( \ \text{∵} \ b \gt 0 \ ) \quad ... [7] \end{align}\]
[4] について
[7] より, \(\ell \ : \ y = b\) となり, P , Q は \(y\) 軸について対称となるので, [4] となるのは \[ \text{P} \ ( -b , b ) \ , \quad \text{Q} \ ( b , b ) \] のとき.
ゆえに, \(E\) の式に代入して \[\begin{align} b^2 +\dfrac{b^2}{4} & = 1 \\ \text{∴} \quad b & = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \end{align}\]

よって, (2) の結果もあわせれば, R \(( b , -b )\) , S \(( -b , -b )\) なので, 求める \(4\) 点の組は \[ \underline{\left( -\dfrac{2}{\sqrt{5}} \ , \dfrac{2}{\sqrt{5}} \right) , \ \left( \dfrac{2}{\sqrt{5}} \ , \dfrac{2}{\sqrt{5}} \right) , \ \left( \dfrac{2}{\sqrt{5}} \ , -\dfrac{2}{\sqrt{5}} \right) , \ \left( -\dfrac{2}{\sqrt{5}} \ , -\dfrac{2}{\sqrt{5}} \right)} \]

東工大2021：第3問

roundown — Wed, 17 Nov 2021 23:46:30 +0000

以下の問いに答えよ.

(1)　正の整数 \(n\) に対して, 二項係数に関する次の等式を示せ. \[ n {} _ {2n} \text{C} {} _ {n} = (n+1) {} _ {2n} \text{C} {} _ {n-1} \] また, これを用いて \({} _ {2n} \text{C} {} _ {n}\) は \(n+1\) の倍数であることを示せ.
(2)　正の整数 \(n\) に対して, \[ a_n = \dfrac{{} _ {2n} \text{C} {} _ {n}}{n+1} \] とおく. このとき, \(n \geqq 4\) ならば \(a_n \gt n+2\) であることを示せ.
(3)　\(a_n\) が素数となる正の整数 \(n\) をすべて求めよ.

【解答】

(1)

\[\begin{align} n {} _ {2n} \text{C}{} _ {n} & = n \cdot \dfrac{2n (2n-1) \cdots (n+2) (n+1)}{n (n-1) (n-2) \cdots 1} \\ & = \dfrac{2n (2n-1) \cdots (n+2) (n+1)}{(n-1) (n-2)\cdots 1} \\ & = (n+1) \cdot \dfrac{2n (2n-1) \cdots (n+2)}{(n-1) (n-2)\cdots 1} \\ & = (n+1) {} _ {2n} \text{C}{} _ {n-1} \end{align}\] \(n\) と \(n+1\) は互いに素なので, \({} _ {2n} \text{C}{} _ {n}\) は \(n+1\) を約数にもつ, すなわち \(n+1\) の倍数である.

(2)

\(a_n \gt n+2\) ... [A] であることを帰納法を用いて示す.

1*　\(n = 4\) のとき \[ a_4 = \dfrac{{} _ {8} \text{C}{} _ {4}}{5} = 15 \gt 4+2 \] なので, [A] が成立する.
2*　\(n = k \ ( k \geqq 4 )\) のとき
[A] が成立する, すなわち \[\begin{align} a_k & = \dfrac{{} _ {2k} \text{C}{} _ {k}}{k+1} \\ & = \dfrac{2k (2k-1) \cdots (k+2)}{k (k-1) \cdots 1} \gt k+2 \quad ... [1] \end{align}\] と仮定すると \[\begin{align} a _ {k+1} & = \dfrac{{} _ {2(k+1)} \text{C}{} _ {k+1}}{k+2} \\ & = \dfrac{(2k+2) (2k+1)}{(k+2) (k+1)} \cdot \dfrac{ 2k (2k-1) \cdots (k+2)}{k (k-1) \cdots 1} \\ & \gt \dfrac{2 (2k+1)}{k+2} \cdot (k+2) \quad ( \text{∵} \ [1] \ ) \\ & = 4k+2 \gt (k+1) +2 \quad ( \text{∵} \ k \geqq 4 \ ) \end{align}\] したがって, \(n = k+1\) のときも [A] が成立する.

1* 2* より, 題意は示された.

(3)

(1) の結果より, \(a_n\) は正の整数である.
(2) の途中経過から \[ a _ {n+1} = \dfrac{2 (2n+1)}{n+2} a _ {n} \] \(a_n\) が合成数であるとき, \(a_n\) と \(n+2\) の最大公約数を \(m\) として \[ a_n = mp \ , \ n+2 = mq \] と表せて, (2) の結果より \(p \geqq 2\) ... [2] , \(q \leqq n+2\) . \[ a _ {n+1} = \dfrac{2 (2n+1)}{q} p \] \(a _ {n+1}\) は整数なので, \(2 (2n+1) = rq \ ( \ r \text{は整数} )\) であり, \(2 (2n+1) \gt q\) だから \(r \geqq 2\) ... [3] .
ゆえに, [2] [3] より, \(a _ {n+1}\) も合成数となる. \[\begin{align} a_1 = \dfrac{{} _ {2} \text{C}{} _ {1}}{2} = 1 \ , & \quad a_2 = \dfrac{{} _ {4} \text{C}{} _ {2}}{3} = 2 \ , \\ a_3 = \dfrac{{} _ {6} \text{C}{} _ {3}}{4} = 5 \ , & \quad a_4 = \dfrac{{} _ {8} \text{C}{} _ {4}}{5} = 14 \end{align}\] したがって, \(n \geqq 4\) では \(a_n\) は素数ではない.
よって, 求める \(n\) は \[ n = \underline{2 , 3} \]

東工大2021：第4問

roundown — Wed, 17 Nov 2021 23:47:18 +0000

\(S\) を, 座標空間内の原点 O を中心とする半径 \(1\) の球面とする. \(S\) 上を動く点 A, B, C, D に対して \[ F = 2 ( \text{AB}^2 + \text{BC}^2 + \text{CA}^2 ) -3 ( \text{AD}^2 + \text{BD}^2 + \text{CD}^2 ) \] とおく. 以下の問いに答えよ.

(1)　\(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) , \(\overrightarrow{\text{OD}} = \overrightarrow{d}\) とするとき, \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c} , \overrightarrow{d}\) によらない定数 \(k\) によって \[ F = k \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} -3 \overrightarrow{d} \right) \] と書けることを示し, 定数 \(k\) を求めよ.
(2)　点 A, B, C, D が球面 \(S\) 上を動くときの, \(F\) の最大値 \(M\) を求めよ.
(3)　点 C の座標が \(\left( -\dfrac{1}{4} , \dfrac{\sqrt{15}}{4} , 0 \right)\) , 点 D の座標が \(( 1 , 0 , 0 )\) であるとき, \(F = M\) となる \(S\) 上の点 A, B の組をすべて求めよ.

【解答】

(1)

\(\left| \overrightarrow{a} \right| = \left| \overrightarrow{b} \right| = \left| \overrightarrow{c} \right| = \left| \overrightarrow{d} \right| = 1\) であることを用いれば \[\begin{align} F & = 2 \left\{ 6 -2 \left( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} +\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \right) \right\} \\ & \qquad -3 \left\{ 6 -2 \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right) \cdot \overrightarrow{d} \right\} \\ & = -6 -4 \left( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} +\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \right) \\ & \qquad +6 \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right) \cdot \overrightarrow{d} \end{align}\] \(P = \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} -3 \overrightarrow{d} \right)\) とおくと \[\begin{align} P & = 3 +2 \left( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} +\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \right) \\ & \qquad -3 \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right) \cdot \overrightarrow{d} \end{align}\] よって \[ F = -2 P \] と書けて \[ k = \underline{-2} \]

(2)

\(\overrightarrow{\text{OG}} = \overrightarrow{g} = \dfrac{\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}}{3}\) とおくと \[\begin{align} F & = -18 \overrightarrow{g} \cdot \left( \overrightarrow{g} -\overrightarrow{d} \right) \\ & = -18 \left| \overrightarrow{g} -\dfrac{1}{2} \overrightarrow{d} \right|^2 +\dfrac{9}{2} \quad \left( \ \text{∵} \ \left| \overrightarrow{d} \right| = 1 \ \right) \\ & \leqq \dfrac{9}{2} \end{align}\] 等号成立は \(\overrightarrow{g} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{d}\) のときであるが,
点 G は \(\triangle \text{ABC}\) の重心なので \(S\) の内側にあり, \(\text{OG} = \dfrac{1}{2}\) となるように A, B, C をとって, 半直線 OG 上に D をとれば, 等号が成立する.
よって \[ M = \underline{\dfrac{9}{2}} \]

(3)

D の座標から, G \(\left( \dfrac{1}{2} , 0 , 0 \right)\) .
\(\overrightarrow{\text{OM}} = \overrightarrow{m} = \dfrac{\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}}{2}\) とおくと, M は AB の中点で \[\begin{align} \overrightarrow{g} & = \dfrac{2 \overrightarrow{m} +\overrightarrow{c}}{3} \\ \text{∴} \quad \overrightarrow{m} & = \dfrac{3 \overrightarrow{g} -\overrightarrow{c}}{2} \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \begin{array}{c} \dfrac{3}{2} +\dfrac{1}{4} \\ \dfrac{\sqrt{15}}{4} \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \dfrac{7}{8} \\ \dfrac{\sqrt{15}}{8} \\ 0 \end{array} \right) \end{align}\] このとき, \(\left( \dfrac{7}{8} \right)^2 +\left( \dfrac{\sqrt{15}}{8} \right)^2 = 1\) なので, M は \(S\) 上にある.
A, B, M はすべて \(S\) 上にあるので, \(S\) の断面である同一円周上にあることになるが, これは \(3\) 点が一致する場合に限られる.
よって, 求める点の組は \[ \underline{\text{A} \ \left( \dfrac{7}{8} , \dfrac{\sqrt{15}}{8} , 0 \right) \ , \ \text{B} \ \left( \dfrac{7}{8} , \dfrac{\sqrt{15}}{8} , 0 \right)} \]

東工大2021：第5問

roundown — Wed, 17 Nov 2021 23:49:45 +0000

\(xy\) 平面上の円 \(C : x^2 +(y-a)^2 = a^2 \ ( a \gt 0 )\) を考える. 以下の問いに答えよ.

(1)　円 \(C\) が \(y \geqq x^2\) で表される領域に含まれるための \(a\) の範囲を求めよ.
(2)　円 \(C\) が \(y \geqq x^2 -x^4\) で表される領域に含まれるための \(a\) の範囲を求めよ.
(3)　\(a\) が (2) の範囲にあるとする. \(xy\) 平面において連立不等式 \[ | x | \leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ , \ 0 \leqq y \leqq \dfrac{1}{4} \ , \ y \geqq x^2 -x^4 \ , \ x^2 +(y-a)^2 \geqq a^2 \] で表される領域 \(D\) を, \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ.

【解答】

(1)

点 \(( t , t^2 )\) が常に \(C\) の外側（境界含む）にある条件を求めればよいので \[\begin{align} t^2 +( t^2 -a )^2 & \geqq a^2 \\ t^2 \left( t^2 -2a +1 \right) & \geqq 0 \\ \text{∴} \quad t^2 -2a +1 & \geqq 0 \quad ( \ \text{∵} \ t^2 \geqq 0 \ ) \end{align}\] これが常に成立する条件は \[\begin{gather} -2a +1 \geqq 0 \\ \text{∴} \quad \underline{0 \lt a \leqq \dfrac{1}{2}} \end{gather}\]

(2)

\(x^2 -x^4 \leqq x^2\) なので, 点 \(( t , t^2 -t^4 )\) は, 点 \(( t , t^2 )\) の常に下側にあり, 点 \(( 0 , a )\) との距離が大きい.
ゆえに, (1) の結果より, \(0 \lt a \leqq \dfrac{1}{2}\) は条件をみたしている.
以下では, \(a \gt \dfrac{1}{2}\) のときについて考える.
点 \(( t , t^2 -t^4 )\) が常に \(C\) の外側（境界含む）にある条件を求めればよい.
\[\begin{align} t^2 +( t^2 -t^4 -a )^2 & \geqq a^2 \\ t^2 \left\{ t^6 -2t^4 +(2a+1) t^2 -2a +1 \right\} & \geqq 0 \\ \text{∴} \quad t^6 -2t^4 +(2a+1) t^2 -2a +1 & \geqq 0 \quad ( \ \text{∵} \ t^2 \geqq 0 \ ) \end{align}\] しかし, \(t = 0\) のとき \[ ( \text{左辺} ) = -2a +1 \lt 0 \] なので, 不等式は常には成立しない.
よって, 求める条件は \[ \underline{0 \lt a \leqq \dfrac{1}{2}} \]

(3)

領域 \(D\) は \(y\) 軸について対象なので, \(x \geqq 0\) の部分について考えればよい.
\(y = x^2 -x^4\) より \[ y' = 2x -4x^3 = -2x ( 2 x^2 -1 ) \] なので, \(|x| \leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}} , \ 0 \leqq y \leqq \dfrac{1}{4} , \ y \geqq x^2 -x^4\) の示す領域 \(D_1\) は, 下図斜線部となる.

これの \(y\) 軸による回転体の体積 \(V_1\) は \[\begin{align} Ｖ_1 & = 2 \pi \displaystyle\int _ {0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} x \left( \dfrac{1}{4} -x^2 +x^4 \right) \, dx \\ & = 2 \pi \left[ \dfrac{x^2}{16} -\dfrac{x^4}{4} +\dfrac{x^6}{6} \right] _ {0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ & = 2\pi \left( \dfrac{1}{16} -\dfrac{1}{16} +\dfrac{\pi}{48} \right) = \dfrac{\pi}{24} \end{align}\]

1*　\(0 \lt a \lt \dfrac{1}{8}\) のとき
\(C\) 全体が \(y = \dfrac{1}{4}\) の下側にあり, \(C\) の \(y\) 軸による回転体の体積 \(V_2\) は \[ V_2 = \dfrac{4 a^3 \pi}{3} \] ゆえに, 求める体積 \(V\) は \[ V = V_1 -V_2 = \dfrac{\pi}{24} -\dfrac{4 a^3 \pi}{3} \]
2*　\(\dfrac{1}{8} \leqq a \leqq \dfrac{1}{2}\) のとき
\(C\) の一部が \(y = \dfrac{1}{4}\) の下側にあり, この部分の \(y\) 軸による回転体の体積 \(V_3\) は \[\begin{align} V_3 & = \pi \displaystyle\int _ {0}^{\frac{1}{4}} ( 2ay -y^2 ) \, dy \\ & = \pi \left[ ay^2 -\dfrac{y^3}{3} \right] _ {0}^{\frac{1}{4}} \\ & = \dfrac{a \pi}{16} -\dfrac{\pi}{192} \end{align}\] ゆえに, 求める体積 \(V\) は \[ V = V_1 -V_3 = \dfrac{3 \pi}{64} -\dfrac{a \pi}{16} \]

以上より \[ V = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\pi}{24} -\dfrac{4 a^3 \pi}{3} & \left( \ 0 \lt a \lt \dfrac{1}{8} \text{のとき}\ \right) \\ \dfrac{3 \pi}{64} -\dfrac{a \pi}{16} & \left( \ \dfrac{1}{8} \leqq a \leqq \dfrac{1}{2} \text{のとき}\ \right) \end{array} \right.} \]

東工大2016：第1問

roundown — Fri, 10 Mar 2017 12:06:25 +0000

\(a\) を正の定数とし, 放物線 \(y = \dfrac{x^2}{4}\) を \(C _ 1\) とする.

(1)　点 P が \(C _ 1\) 上を動くとき, P と点 Q \(\left( 2a , \dfrac{a^2}{4} -2 \right)\) の距離の最小値を求めよ.
(2)　Q を中心とする円 \(( x -2a )^2 +\left( y -\dfrac{a^2}{4} +2 \right)^2 = 2 a^2\) を \(C _ 2\) とする. P が \(C _ 1\) 上を動き, 点 R が \(C _ 2\) 上を動くとき, P と R の距離の最小値を求めよ.

【解答】

(1)

点 P \(\left( t , \dfrac{t^2}{4} \right)\) とおくと \[ \text{PQ}^2 = \left( t -2a \right)^2 +\left( \dfrac{t^2}{4} +\dfrac{a^2}{4} -2 \right)^2 \] これを \(f(t) \ ( t \gt 0 )\) として, \(t\) で微分すると \[\begin{align} f'(t) & = 2 ( t -2a ) +2 \left( \dfrac{t^2}{4} -\dfrac{a^2}{4} -2 \right) \cdot \dfrac{t}{2} \\ & = \dfrac{t^3}{4} +\left( 4 -\dfrac{a^2}{4} \right) t -4a \\ & = \dfrac{1}{4} (t-a) \underline{( t^2 +at +16 )} _ {[1]} \end{align}\] \([1] = 0\) の判別式を \(D\) とおけば \[ D = a^2 -64 = (a+8)(a-8) \]

1*　\(0 \lt a \leqq 8\) のとき
\([1] \leqq 0\) なので, \(f(t) = 0\) をとくと \[ t = a \] ゆえに, \(f(t)\) の増減は以下のようになる. \[ \begin{array}{c|cccc} t & (0) & \cdots & a & \cdots \\ \hline f'(t) & & - & 0 & + \\ \hline f(t) & & \searrow & \text{最小} & \nearrow \end{array} \] したがって, 最小値は \[ f(a) = a^2 +4 \]
2*　\(a \gt 8\) のとき
\(f(t) = 0\) をとくと \[ t = a , \ \dfrac{a +\sqrt{a^2 -64}}{2} \] ゆえに, \(f(t)\) の増減は以下のようになる. \[ \begin{array}{c|cccccc} t & (0) & \cdots & \dfrac{a +\sqrt{a^2 -64}}{2} & \cdots & a & \cdots \\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(t) & & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array} \] ここで \[\begin{align} f(0) -f(a) & = 4a^2 +\left( \dfrac{a^2}{4} -2 \right)^2 -( a^2 +4 ) \\ & = 3 a^2 +\left( \dfrac{a^2}{4} -2 \right)^2 +4 \gt 0 \end{align}\] なので, 最小値は \[ f(a) = a^2 +4 \]

以上より, 求める最小値は \[ \underline{\sqrt{a^2 +4}} \]

(2)

円 \(C _ 2\) は, 点 Q を中心とする半径 \(\sqrt{2} a\) の円である.
PQ の最小値と, 円 \(C _ 2\) の半径の大小で場合分けして考える. \[ 2 a^2 -( a^2 +4 ) = a^2 -4 = (a+2)(a-2) \] なので

1*　\(\sqrt{a^2 +4} \gt \sqrt{2} a\) すなわち \(0 \lt a \lt 2\) のとき
\(C _ 1\) と \(C _ 2\) は共有点をもたず, 点 R が, 線分 PQ と \(C _ 2\) の交点となるときに, PR は最小となり, 最小値は \[ \sqrt{a^2 +4} -\sqrt{2} a \]
2*　\(\sqrt{a^2 +4} \leqq \sqrt{2} a\) すなわち \(a \geqq 2\) のとき
\(C _ 1\) と \(C _ 2\) は共有点をもつので, PR の最小値は \[ 0 \]

以上より, 求める最小値は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{a^2 +4} -\sqrt{2} a & ( \ 0 \lt a \lt 2 \text{のとき} \ ) \\ 0 & ( \ a \geqq 2 \text{のとき} \ ) \end{array} \right.} \]

東工大2016：第2問

roundown — Fri, 10 Mar 2017 12:09:45 +0000

\(\triangle \text{ABC}\) を一辺の長さ \(6\) の正三角形とする. サイコロを \(3\) 回振り, 出た目を順に \(X , Y , Z\) とする. 出た目に応じて, 点 P, Q, R をそれぞれ線分 BC, CA, AB 上に \[ \overrightarrow{\text{BP}} = \dfrac{X}{6} \overrightarrow{\text{BC}} , \quad \overrightarrow{\text{CQ}} = \dfrac{Y}{6} \overrightarrow{\text{CA}} , \quad \overrightarrow{\text{AR}} = \dfrac{Z}{6} \overrightarrow{\text{AB}} \] をみたすように取る.

(1)　\(\triangle \text{PQR}\) が正三角形になる確率を求めよ.
(2)　点 B, P, R を互いに線分で結んでできる図形を \(T _ 1\) , 点 C, Q, P を互いに線分で結んでできる図形を \(T _ 2\) , 点 A, R, Q を互いに線分で結んでできる図形を \(T _ 3\) とする. \(T _ 1 , T _ 2 , T _ 3\) のうち, ちょうど \(2\) つが正三角形になる確率を求めよ.
(3)　\(\triangle \text{PQR}\) の面積を \(S\) とし, \(S\) のとりうる値の最小値を \(m\) とする. \(m\) の値および \(S = m\) となる確率を求めよ.

【解答】

(1)

\(\text{PQ} = \text{QR} = \text{RP}\) となるのは, \(\triangle \text{CPQ} \equiv \triangle \text{AQR} \equiv \triangle \text{BRP}\) のとき, すなわち \(X = Y = Z\) のときである.
よって, 求める確率は \[ \dfrac{6}{6^3} = \underline{\dfrac{1}{36}} \]

(2)

\(T _ 1\) と \(T _ 2\) のみが正三角形となる場合は \[ ( X , Y , Z ) = (1,5,5) , (2,4,4) , (4,2,2) , (5,1,1) \] の \(4\) 通り.
\(T _ 2\) と \(T _ 3\) , \(T _ 3\) と \(T _ 1\) の場合も同様に \(4\) 通りずつあるので, 求める確率は \[ \dfrac{4 \cdot 3}{6^3} = \underline{\dfrac{1}{18}} \]

(3)

\[\begin{align} S & = \triangle \text{ABC} -\triangle \text{BPR} -\triangle \text{CQP} -\triangle \text{ARQ} \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \sin 60^{\circ} \left\{ 6^2 -X(6-Z) -Y(6-X) -Z(6-Y) \right\} \\ & = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \underline{\left\{ 36 -X(6-Z) -Y(6-X) -Z(6-Y) \right\}} _ {[1]} \end{align}\] [1] が最小となる場合について考える.
[1] は \(X , Y , Z\) の次数は高々 \(1\) 次なので, \(X , Y , Z\) のうち \(1\) つだけを変数とみなしたときに, 最大, 最小となるのは, 変域の端にあたる \(1\) または \(6\) のときに限られる.
したがって, \(X \leqq Y \leqq Z \ ... [2]\) のもとで考えると, 最小値をとりうる \(X,Y,Z\) の組合せは, 以下の \(4\) 通り

1*　\((X,Y,Z) = (1,1,1)\) のとき \[ [1] = 36 -3 \cdot 5 = 21 \]
2*　\((X,Y,Z) = (1,1,6)\) のとき \[ [1] = 36 -5 -6 \cdot 5 = 1 \]
3*　\((X,Y,Z) = (1,6,6)\) のとき \[ [1] = 36 -6 \cdot 5 = 6 \]
4*　\((X,Y,Z) = (6,6,6)\) のとき \[ [1] = 36 \]

以上より, 最小となるのは, 2* の場合で, このとき \[ m = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \underline{\dfrac{\sqrt{3}}{4}} \] 条件 [2] を外して考えれば, \(S = m\) となるのは \[ ( X , Y , Z ) = (1,1,6) , (1,6,1) , (6,1,1) \] のときなので, 求める確率は \[ \dfrac{3}{6^3} = \underline{\dfrac{1}{72}} \]

東工大2016：第3問

roundown — Fri, 10 Mar 2017 12:46:11 +0000

水平な平面 \(\alpha\) の上に半径 \(r _ 1\) の球 \(S _ 1\) と半径 \(r _ 2\) の球 \(S _ 2\) が乗っており, \(S _ 1\) と \(S _ 2\) は外接している.

(1)　\(S _ 1 , S _ 2\) が \(\alpha\) と接する点をそれぞれ \(\text{P} _ 1 , \text{P} _ 2\) とする. 線分 \(\text{P} _ 1 \text{P} _ 2\) の長さを求めよ.
(2)　\(\alpha\) の上に乗っており, \(S _ 1\) と \(S _ 2\) の両方に外接している球すべてを考える. それらの球と \(\alpha\) の接点は, \(1\) つの円の上または \(1\) つの直線上にあることを示せ.

【解答】

(1)

\(r _ 1 \neq r _ 2\) のとき, \(S _ 1 , S _ 2\) の中心を結ぶ線分を斜辺とする直角三角形に着目して \[\begin{align} \text{P} _ 1 \text{P} _ 2 & = \sqrt{( r _ 1 +r _ 2 )^2 -| r _ 1 -r _ 2 |^2} \\ & = 2 \sqrt{r _ 1 r _ 2} \quad ... [1] \end{align}\] \(r _ 1 = r _ 2\) のとき, \(\text{P} _ 1 \text{P} _ 2 = 2 r _ 1\) であり, [1] で満たされている.
よって \[ \text{P} _ 1 \text{P} _ 2 = \underline{2 \sqrt{r _ 1 r _ 2}} \]

(2)

\(S _ 1 , S _ 2\) 両方に外接する円を \(S _ 3\) とし, \(S _ 3\) の半径を \(r _ 3\) , \(\alpha\) との接点を \(\text{P} _ 3\) とおく.
(1) の結果から \[ \text{P} _ 1 \text{P} _ 3 = 2 \sqrt{r _ 1 r _ 3} , \ \text{P} _ 2 \text{P} _ 3 = 2 \sqrt{r _ 2 r _ 3} \quad ... [2] \] \(\text{P} _ 1 \ ( 0, 0 )\) , \(\text{P} _ 2 \ ( 2 \sqrt{ r _ 1 r _ 2 }, 0 )\) となるように, \(xy\) 座標を定め, \(\text{P} _ 3 \ ( X, Y )\) とおくと, [2] より \[\begin{align} X^2 +Y^2 & = 4 r _ 1 r _ 3 \quad ... [3] \\ ( X -2 \sqrt{ r _ 1 r _ 2 } )^2 +Y^2 & = 4 r _ 2 r _ 3 \quad ... [4] \end{align}\]

1*　\(r _ 1 = r _ 2\) のとき
\([3] -[4]\) より \[\begin{align} 4 r _ 1 X -4 {r _ 1}^2 & = 0 \\ \text{∴} \quad X & = r _ 1 \end{align}\] これは, 直線を表す.
2*　\(r _ 1 \neq r _ 2\) のとき
\([3] \times r _ 2 -[4] \times r _ 1\) より \[\begin{align} r _ 2 X^2 +r _ 2 Y^2 & = r _ 1 ( X -2 \sqrt{ r _ 1 r _ 2 } )^2 +r _ 1 Y^2 \\ ( r _ 2 -r _ 1 ) X^2 +4 r _ 1 \sqrt{ r _ 1 r _ 2 } X & +( r _ 2 -r _ 1 ) Y^2 = 4 {r _ 1}^2 r _ 2 \\ \left( X +\dfrac{2 r _ 1 \sqrt{ r _ 1 r _ 2 }}{r _ 2 -r _ 1} \right)^2 +Y^2 & = \dfrac{4 {r _ 1}^2 r _ 2}{r _ 2 -r _ 1} +\left( \dfrac{2 r _ 1 \sqrt{ r _ 1 r _ 2 }}{r _ 2 -r _ 1} \right)^2 \\ \text{∴} \quad \left( X +\dfrac{2 r _ 1 \sqrt{ r _ 1 r _ 2 }}{r _ 2 -r _ 1} \right)^2 +Y^2 & = \left( \dfrac{2 r _ 1 r _ 2}{r _ 2 -r _ 1} \right)^2 \end{align}\] これは, 円を表す.

以上より, 題意は示された.

東工大 - 大学入試数学の資料集

東工大2021：第1問

【 解 答 】

東工大2021：第2問

【 解 答 】

東工大2021：第3問

【 解 答 】

東工大2021：第4問

【 解 答 】

東工大2021：第5問

【 解 答 】

東工大2016：第1問

【 解 答 】

東工大2016：第2問

【 解 答 】

東工大2016：第3問

【 解 答 】

【解答】

【解答】

【解答】

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