\(f(x) = x^3 -x\) とする. \(y = f(x)\) のグラフに点 \(P \ ( a , b )\) から引いた接線は \(3\) 本あるとする. \(3\) つの接点 A \(\left( \alpha , f( \alpha ) \right)\) , B \(\left( \beta , f( \beta ) \right)\) , C \(\left( \gamma , f( \gamma ) \right)\) を頂点とする三角形の重心を \(G\) とする.
(1) \(\alpha +\beta +\gamma\) , \(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha\) および \(\alpha \beta \gamma\) を \(a , b\) を用いて表せ.
(2) 点 \(G\) の座標を \(a , b\) を用いて表せ.
(3) 点 \(G\) の \(x\) 座標が正で, \(y\) 座標が負となるような点 \(P\) の範囲を図示せよ.
解答
(1)
\[ f'(x) = 3x^2 -1 \] なので, 点 \(\left( t , f(t) \right)\) における接線の式は \[\begin{align} y & = \left( 3t^2 -1 \right) (x-t) +t^3 -t \\ & = \left( 3t^2 -1 \right) x -2 t^2 \end{align}\] これが \(P\) を通るので \[\begin{gather} b = \left( 3t^2 -1 \right) a -2 t^2 \\ \text{∴} \quad 2t^3 -3a t^2 +a +b = 0 \quad ... [1] \end{gather}\] \(\alpha , \beta , \gamma\) は, \(t\) についての \(3\) 次方程式 [1] の異なる \(3\) つの解なので, 解と係数の関係より \[ \underline{\left\{ \begin{array}{l} \alpha +\beta +\gamma = \dfrac{3a}{2} \\ \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha = 0 \\ \alpha \beta \gamma = -\dfrac{a+b}{2} \end{array} \right.} \]
(2)
\(G \ \left( \dfrac{\alpha +\beta +\gamma}{3} , \dfrac{f( \alpha ) +f( \beta ) +f( \gamma )}{3} \right)\) と表せる.
ここで, (1) の結果も用いれば
\[\begin{align}
f( \alpha ) & +f( \beta ) +f( \gamma ) \\
& = \left( {\alpha}^3 +{\beta}^3 +{\gamma}^3 \right) -( \alpha +\beta +\gamma ) \\
& = ( \alpha +\beta +\gamma ) \left\{ ( \alpha +\beta +\gamma )^2 -3 ( \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) \right\} \\
& \qquad +3 \alpha \beta \gamma -( \alpha +\beta +\gamma ) \\
& = \dfrac{3a}{2} \left\{ \left( \dfrac{3a}{2} \right)^2 -3 \cdot 0 \right\} -\dfrac{3 (a+b)}{2} -\dfrac{3a}{2} \\
& = \dfrac{27 a^3}{8} -3a -\dfrac{3b}{2}
\end{align}\]
よって
\[
G \ \underline{\left( \dfrac{a}{2} , \dfrac{27 a^3}{8} -3a -\dfrac{3b}{2} \right)}
\]
(3)
(2) の結果より
\[\begin{align}
\dfrac{a}{2} \gt 0 & , \ \dfrac{27 a^3}{8} -3a -\dfrac{3b}{2} \lt 0 \\
\text{∴} \quad a \gt 0 & , \ b \gt \dfrac{9 a^3}{4} -2a \quad ... [2]
\end{align}\]
あらためて, \(P\) から \(3\) 本の接線を引くことができる条件について考える.
[1] が異なる \(3\) つの実数解をもてばよいので, [1] の左辺を \(g(t)\) とおけば
\[
g'(t) = 6t^2 -6at = 6t (t-a)
\]
\(a \neq 0\) ... [3] であれば \(g(t)\) は \(t = 0 , a\) で極値をとり, 考えたい条件は
\[\begin{align}
g(0) g(a) \lt 0 \\
\text{∴} \quad (a+b) \left( -a^3 +a +b \right) & \lt 0 \quad ... [4]
\end{align}\]
[2] ～ [4] より, 求める領域は下図斜線部（境界は含まない）.
