\(xy\) 平面上の曲線 \(C : \ y = x \sin x +\cos x -1 \ ( 0 \lt x \lt \pi )\) に対して, 以下の問いに答えよ. ただし, \(3 \lt \pi \lt \dfrac{16}{5}\) であることは証明なしで用いてよい.
(1) 曲線 \(C\) と \(x\) 軸の交点はただ \(1\) つであることを示せ.
(2) 曲線 \(C\) と \(x\) 軸の交点を \(A \ ( \alpha , 0 )\) とする. \(\alpha \gt \dfrac{2}{3} \pi\) であることを示せ.
(3) 曲線 \(C\) , \(y\) 軸および直線 \(y = \dfrac{\pi}{2} -1\) で囲まれる部分の面積を \(S\) とする. また, \(xy\) 平面の原点 \(O\) , 点 \(A\) および曲線 \(C\) 上の点 \(B \ \left( \dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} -1 \right)\) を頂点とする三角形 \(OAB\) の面積を \(T\) とする. \(S \lt T\) であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(f(x) = y\) とおくと \[\begin{align} f'(x) & = \sin x +x \cos x -\sin x \\ & = x \cos x \end{align}\] \(f'(x) = 0\) をとくと \[ x = \dfrac{\pi}{2} \] したがって, \(f(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} x & (0) & \cdots & \dfrac{\pi}{2} & \cdots & ( \pi ) \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & (0) & \nearrow & \dfrac{\pi}{2} -1 & \searrow & ( -2 ) \end{array} \] ゆえに, \(C\) は下図のようになり, \(x\) 軸とただ \(1\) 点で交わる.
(2)
\[\begin{align} f \left( \dfrac{2 \pi}{3} \right) & = \dfrac{2 \pi}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} -\dfrac{1}{2} -1 \\ & = \dfrac{2 \sqrt{3} \pi -9}{6} \end{align}\] ここで, \(3 \gt \left( \dfrac{3}{2} \right)^2 = \dfrac{9}{4}\) なので \[ \sqrt{3} \gt \dfrac{3}{2} \] また, \(\pi \gt 3\) なので \[\begin{align} f \left( \dfrac{2 \pi}{3} \right) & \gt \dfrac{2 \cdot \frac{3}{2} \cdot 3 -9}{6} \\ & = 0 = f( \alpha ) \quad ... [1] \end{align}\] (1) の結果より, \(\dfrac{2 \pi}{3} \lt x \lt \pi\) において, \(f(x)\) は単調減少なので, [1] より \[ \alpha \gt \dfrac{2 \pi}{3} \]
(3)
\[\begin{align} S & = \dfrac{\pi}{2} \left( \dfrac{\pi}{2} -1 \right) -\displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \\ & = \dfrac{{\pi}^2}{4} -\dfrac{\pi}{2} -\left[ -x \cos x +2 \sin x -x \right] _ 0^{\frac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{{\pi}^2}{4} -\dfrac{\pi}{2} -\left( 2 -\dfrac{\pi}{2} \right) \\ & = \dfrac{{\pi}^2}{4} -2 \end{align}\] また \[ T = \dfrac{\alpha}{2} \left( \dfrac{\pi}{2} -1 \right) \] (2) の結果を用いれば \[\begin{align} T -S & = \dfrac{\pi}{3} \left( \dfrac{\pi}{2} -1 \right) -\left( \dfrac{{\pi}^2}{4} -2 \right) \\ & = 2 -\dfrac{{\pi}^2}{12} -\dfrac{\pi}{3} \\ & \gt 2 -\dfrac{1}{12} \left( \dfrac{16}{5} \right)^2 -\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{16}{5} \quad ( \ \text{∵} \ \pi \lt \dfrac{16}{5} \ ) \\ & = 2 -\dfrac{64}{75} -\dfrac{16}{15} \\ & = \dfrac{2}{25} \gt 0 \end{align}\] よって \[ S \lt T \]