\(xy\) 平面上に楕円 \[ C _ 1 : \ \dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{y^2}{9} = 1 \quad ( a \gt \sqrt{13} ) \] および双曲線 \[ C _ 2 : \ \dfrac{x^2}{4} -\dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad \left( b \gt 0 \right) \] があり, \(C _ 1\) と \(C _ 2\) は同一の焦点をもつとする. また \(C _ 1\) と \(C _ 2\) の交点 \(P \ \left( 2 \sqrt{1 +\dfrac{t^2}{b^2}} , t \right) \ ( t \gt 0 )\) における \(C _ 1 , C _ 2\) の接線をそれぞれ \(\ell _ 1 , \ell _ 2\) とする.
(1) \(a\) と \(b\) の間に成り立つ関係式を求め, 点 \(P\) の座標を \(a\) を用いて表せ.
(2) \(\ell _ 1\) と \(\ell _ 2\) が直交することを示せ.
(3) \(a\) が \(a \gt \sqrt{13}\) を満たしながら動くときの点 \(P\) の軌跡を図示せよ.
【 解 答 】
(1)
\(3 \lt \sqrt{13} \lt a\) なので, \(C _ 1\) の焦点は \[ \left( \pm \sqrt{a^2 -9} , 0 \right) \] \(C _ 2\) の焦点は \[ \left( \pm \sqrt{4 +b^2} , 0 \right) \] この \(2\) 点が一致するので \[\begin{align} a^2 -9 & = 4 +b^2 \\ \text{∴} \quad b & = \underline{\sqrt{a^2 -13}} \quad ( \ \text{∵} \ b \gt 0 \ ) ... [1] \end{align}\] \(C _ 1 , C _ 2\) の式から, \(x\) を消去すると \[\begin{align} a^2 \left( 1 -\dfrac{y^2}{9} \right) & = 4 \left( 1 +\dfrac{y^2}{b^2} \right) \\ a^2 b^2 ( 9 -y^2 ) & = 9 b^2 ( b^2 +y^2 ) \\ ( 36 +a^2 b^2 ) y^2 & = 9 b^2 ( a^2 -4 ) \end{align}\] これに [1] を代入すると \[\begin{align} \{ 36 +a^2 ( a^2 -13 ) \} y^2 & = 9 ( a^2 -13 ) ( a^2 -4 ) \\ ( a^2-4 ) ( a^2 -9 ) y^2 & = 9 ( a^2 -13 ) ( a^2 -4 ) \\ \text{∴} \quad y^2 & = \dfrac{9 ( a^2 -13 )}{a^2 -9} \quad ( \ \text{∵} \ a^2 \neq 4 \ ) \end{align}\] \(y \gt 0\) なので \[ y = \dfrac{3 \sqrt{a^2 -13}}{\sqrt{a^2 -9}} \] このとき \[\begin{align} x & = 2 \sqrt{1 +\dfrac{y^2}{a^2 -13}} \\ & = 2 \sqrt{1 +\dfrac{9}{a^2 -9}} \\ & = \dfrac{2a}{\sqrt{a^2 -9}} \end{align}\] よって, P の座標は \[ \underline{\left( \dfrac{2a}{\sqrt{a^2 -9}} , \dfrac{3 \sqrt{a^2 -13}}{\sqrt{a^2 -9}} \right)} \]
(2)
\(P \ ( s , t )\) とおくと \[\begin{align} \ell _ 1 : \ & \dfrac{sx}{a^2} +\dfrac{ty}{9} = 1 , \\ \ell _ 2 : \ & \dfrac{sx}{4} -\dfrac{ty}{b^2} = 1 \end{align}\] \(\ell _ 1 , \ell _ 2\) の法線ベクトルをそれぞれ \(\overrightarrow{h _ 1} , \overrightarrow{h _ 2}\) とおけば \[ \overrightarrow{h _ 1} = \left( \dfrac{s}{a^2} , \dfrac{t}{9} \right) , \ \overrightarrow{h _ 2} = \left( \dfrac{s}{4} , -\dfrac{t}{b^2} \right) \] なので \[\begin{align} \overrightarrow{h _ 1} \cdot \overrightarrow{h _ 2} & = \dfrac{s^2}{4 a^2} -\dfrac{t^2}{9 b^2} \\ & = \dfrac{1}{4 a^2} \cdot \dfrac{4 a^2}{a^2 -9} -\dfrac{1}{9 b^2} \cdot \dfrac{9 b^2}{a^2 -9} \\ & = 0 \end{align}\] よって, \(\overrightarrow{h _ 1} \perp \overrightarrow{h _ 2}\) なので, \(\ell _ 1 \perp \ell _ 2\) .
(3)
\[\begin{align} s^2 & = \dfrac{4a^2}{a^2 -9} \quad ... [2] , \\ t^2 & = \dfrac{9 ( a^2 -13 )}{a^2 -9} \quad ... [3] \end{align}\] [2] より \[\begin{align} s^2 a^2 -9 s^2 & = 4 a^2 \\ \text{∴} \quad a^2 & = \dfrac{9 s^2}{s^2 -4} \end{align}\] これを [3] に代入すれば \[\begin{align} t^2 & = \dfrac{9 \left( \frac{9 s^2}{s^2 -4} -13 \right)}{\frac{9 s^2}{s^2 -4} -9} \\ & = \dfrac{9 s^2 -13 ( s^2 -4 )}{4} \\ & = 13 -s^2 \\ \text{∴} \quad & s^2 +t^2 = 13 \end{align}\] また, [2] より \[ s^2 = 4 +\dfrac{36}{a^2 -9} \] であり, \(a \gt \sqrt{13}\) なので \[\begin{align} 4 \lt s^2 & \lt 4 +\dfrac{36}{13 -9} = 13 \\ \text{∴} \quad 2 & \lt s \lt \sqrt{13} \end{align}\] 以上より, 点 \(P\) の軌跡は \[ \text{円} : \ x^2 +y^2 = 13 \ \left( 2 \lt x \lt \sqrt{13} \right) \] であり, 図示すれば下図実線部（○は含まない）.
