以下の問いに答えよ.
- (1) 座標平面において, 次の連立不等式の表す領域を図示せよ. \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2 +y \leqq 1 \\ x-y \leqq 1 \end{array} \right. \]
(2) \(2\) つの放物線 \(y = x^2 -2x +k\) と \(y = -x^2 +1\) が共有点をもつような実数 \(k\) の値の範囲を求めよ.
(3) \(x , y\) が (1) の連立不等式を満たすとき, \(y -x^2 +2x\) の最大値および最小値と, それらを与える \(x , y\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
条件より \[ x-1 \lt y \lt 1-x^2 \] よって, 求める領域は下図斜線部（境界を含む）.
(2)
\(2\) 式から \(y\) を消去すると \[\begin{align} x^2 -2x +k = -x^2 & +1 \\ \text{∴} \quad 2x^2 -2x +k -1 & = 0 \quad ... [1] \end{align}\] この方程式が実数解をもてばよいので, 判別式 \(D\) について \[\begin{align} \dfrac{D}{4} = 1 -2 (k-1) & \geqq 0 \\ \text{∴} \quad \underline{k \leqq \dfrac{3}{2}} & \end{align}\]
(3)
\(y -x^2 +2x = k\) とおいて, これを変形すると
\[
y = (x-1)^2 +k-1 \quad ... [2]
\]
したがって, [2] の示す放物線が, (1) で示した領域と共有点をもつときの, \(k\) の最大, 最小について考えればよい.
[2] が, 下に凸で頂点が \(( 1 , k-1 )\) であることに着目すれば,
\(k\) が最大になるのは, [2] が \(y = -x^2 +1\) と接するとき.
これは, (2) の結果より \(k = \dfrac{3}{2}\) のときで, このとき, 方程式 [1] の解は \[\begin{align} 2x^2 -2x +\dfrac{1}{2} & = 0 \\ \text{∴} \quad x = \dfrac{1}{2} & \end{align}\] さらに \[ y = 1 -\left( \dfrac{1}{2} \right)^2 = \dfrac{3}{4} \]\(k\) が最小になるのは, [2] が点 \(( -2 , -3 )\) を通るとき.
このとき \[ k = -3 -(-2)^2 +2(-2) = -11 \]
以上より, 求める最大値, 最小値は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \text{最大値} : \ \dfrac{3}{2} & \left( \ x = \dfrac{1}{2} , \ y = \dfrac{3}{4} \ \text{のとき} \right) \\ \text{最小値} : \ -11 & ( \ x = -2 , \ y = -3 \ \text{のとき} ) \end{array} \right. \quad} \]