半径 \(1\) の円を内接円とする三角形 ABC が, 辺 AB と辺 AC の長さが等しい二等辺三角形であるとする. 辺 BC , CA , AB と内接円の接点をそれぞれ P , Q , R とする. また, \(\alpha = \angle \text{CAB}\) , \(\beta = \angle \text{ABC}\) とし, 三角形 ABC の面積を \(S\) とする.
(1) 線分 AQ の長さを \(\alpha\) を用いて表し, 線分 QC の長さを \(\beta\) を用いて表せ.
(2) \(t = \tan \dfrac{\beta}{2}\) とおく. このとき, \(S\) を \(t\) を用いて表せ.
(3) 不等式 \(S \geqq 3 \sqrt{3}\) が成り立つことを示せ. さらに, 等号が成立するのは, 三角形 ABC が正三角形のときに限ることを示せ.
【 解 答 】
(1)
内接円の中心を O とおけば, OP , OQ , OR はそれぞれ長さ \(1\) で, 各辺 BC , CA , AB と垂直である.
したがって
\[
\text{AQ} = \underline{\dfrac{1}{\tan \frac{\alpha}{2}}} , \quad \text{CQ} = \underline{\dfrac{1}{\tan \frac{\beta}{2}}}
\]
(2)
条件より, \(0 \lt t \lt 1\) ... [1] . \[\begin{align} S & = \dfrac{1}{2} \cdot 1 ( \text{AB} +\text{BC} +\text{CA} ) \\ & = \text{AQ} +2 \text{CQ} \end{align}\] \(\alpha = \pi -2 \beta\) ... [2] すなわち \(\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{2} -\beta\) なので \[\begin{align} \tan \dfrac{\alpha}{2} & = \dfrac{1}{\tan \beta} \\ & = \dfrac{1 -\tan^2 \frac{\beta}{2}}{2 \tan \frac{\beta}{2}} \end{align}\] よって, (1) の結果も用いて \[\begin{align} S & = \dfrac{2t}{1 -t^2} +\dfrac{2}{t} \\ & = \underline{\dfrac{2}{t -t^3}} \end{align}\]
(3)
\(f(t) = t -t^3\) とおいて, \(f(t)\) の取りうる値の範囲を考える. \[ f'(t) = 1 -3t^2 = -3 \left( t +\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) \left( t -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) \] したがって, [1] における \(f(t)\) の増減は下表の通り. \[ \begin{array}{c|ccccc} t & (0) & \cdots & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \cdots & (1) \\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & \\ \hline f(t) & (0) & \nearrow & \dfrac{2}{3 \sqrt{3}} & \searrow & (0) \end{array} \] よって \[\begin{align} 0 \lt f(t) & = \dfrac{2}{S} \leqq \dfrac{2}{3 \sqrt{3}} \\ \text{∴} \quad & S \geqq 3 \sqrt{3} \end{align}\] また, 等号成立は \(t = \tan \dfrac{\beta}{2} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\) のときだけなので \[\begin{align} \dfrac{\beta}{2} & = \dfrac{\pi}{6} \\ \text{∴} \quad \beta & = \dfrac{\pi}{3} \end{align}\] [2] より \[ \alpha = \pi -2 \cdot \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} \] よって, \(S\) が最大となるのは, \(\triangle \text{ABC}\) が正三角形のときのみ.