\(p\) と \(q\) は正の整数とする. \(2\) 次方程式 \(x^2 -2px -q = 0\) の \(2\) つの実数解を \(\alpha , \beta\) とする. ただし, \(\alpha \gt \beta\) とする. 数列 \(\{ a _ n \}\) を \[ a _ n = \dfrac{1}{2} \left( {\alpha}^{n-1} +{\beta}^{n-1} \right) \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] によって定める. ただし, \({\alpha}^0 = 1\) , \({\beta}^0 = 1\) と定める.
(1) すべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ {n+2} = 2p a _ {n+1} +q a _ n\) であることを示せ.
(2) すべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ n\) は整数であることを示せ.
(3) 自然数 \(n\) に対し, \(\dfrac{{\alpha}^{n-1}}{2}\) 以下の最大の整数を \(b _ n\) とする. \(p\) と \(q\) が \(q \lt 2p+1\) を満たすとき, \(b _ n\) を \(a _ n\) を用いて表せ.
【 解 答 】
(1)
解と係数の関係より \[ \alpha +\beta = 2p , \ \alpha \beta = -q \quad ... [1] \] これを用いれば \[\begin{align} {\alpha}^{n+1} +{\beta}^{n+1} & = ( \alpha +\beta ) ( {\alpha}^n +{\beta}^n ) -\alpha \beta ( {\alpha}^{n-1} +{\beta}^{n-1} ) \\ & = 2p ( {\alpha}^n +{\beta}^n ) +q ( {\alpha}^{n-1} +{\beta}^{n-1} ) \end{align}\] よって, 両辺を \(\dfrac{1}{2}\) 倍すれば \[ a _ {n+2} = 2p a _ {n+1} +q a _ n \]
(2)
自然数 \(n\) について, 「 \(a _ n\) は整数である. 」... [A] ことを, 数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n = 1 , 2\) のとき \[\begin{align} a _ 1 & = \dfrac{1}{2} ( 1+1 ) = 1 , \\ a _ 2 & = \dfrac{1}{2} ( \alpha +\beta ) = p \end{align}\] なので, どちらも [A] が成立する.
2* \(n = k , k+1 \ ( k \geqq 1 )\) のときに, [A] が成立する, すなわち, \(a _ k , a _ {k+1}\) がともに整数であると仮定する.
(1) の結果より, \(a _ {k+2}\) も整数となり, \(n = k+2\) のときに [A] が成立する.
以上より, 題意は示された.
(3)
条件より \[ \alpha = p +\sqrt{p^2 +q} , \ \beta = p -\sqrt{p^2 +q} \] \(q \lt 2p+1\) より, \(p^2 +q \lt (p+1)^2\) なので \[ p \lt \sqrt{p^2 +q} \lt p+1 \] したがって \[ 2p \lt \alpha \lt 2p+1 , \ -1 \lt \beta \lt 0 \quad ... [2] \] 条件より \[ \dfrac{{\alpha}^{n-1}}{2} = a _ n -\underline{\dfrac{{\beta}^{n-1}}{2}} _ {[3]} \] (2) の結果より, \(a _ n\) は整数であり, また [2] より下線部 [3] について \[ \left\{ \begin{array}{ll} 0 \lt [3] \lt \dfrac{1}{2} & ( \ n \ \text{が奇数のとき} \ ) \\ -\dfrac{1}{2} \lt [3] \lt 0 & ( \ n \ \text{が偶数のとき} \ ) \end{array} \right. \] よって \[ b _ n = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} a _ n -1 & ( \ n \ \text{が奇数のとき} \ ) \\ a _ n & ( \ n \ \text{が偶数のとき} \ ) \end{array} \right.} \]