\(f(x) = \log \left( e^x +e^{-x} \right)\) とおく. 曲線 \(y = f(x)\) の点 \(( t , f(t) )\) における接線を \(\ell\) とする. 直線 \(\ell\) と \(y\) 軸の交点の \(y\) 座標を \(b(t)\) とおく.
(1) 次の等式を示せ. \[ b(t) = \dfrac{2t e^{-t}}{e^t +e^{-t}} +\log \left( 1 +e^{-2t} \right) \]
(2) \(x \geqq 0\) のとき, \(\log (1+x) \leqq x\) であることを示せ.
(3) \(t \geqq 0\) のとき, \[ b(t) \leqq \dfrac{2}{e^t +e^{-t}} +e^{-2t} \] であることを示せ.
(4) \(b(0) = \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \displaystyle\int _ 0^x \dfrac{4t}{\left( e^t +e^{-t} \right)^2} \, dt\) であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} f'(x) & = \dfrac{e^x -e^{-x}}{e^x +e^{-x}} \\ & = 1 -\dfrac{2 e^{-x}}{e^x +e^{-x}} \quad ... [1] \end{align}\] なので, \(\ell\) の式は \[\begin{align} y & = (x-t) f'(t) +f(t) \\ & = x f'(t) +f(t) -t f'(t) \end{align}\] よって \[\begin{align} b(t) & = f(t) -t f'(t) \quad ... [2] \\ & = t +\log ( 1 +e^{-2t} ) -t +\dfrac{2 e^{-2t}}{e^t +e^{-t}} \\ & = \dfrac{2t e^{-t}}{e^t +e^{-t}} +\log \left( 1 +e^{-2t} \right) \end{align}\]
(2)
\(g(x) = x -\log (1+x)\) とおくと, \(x \geqq 0\) において \[ g'(x) = 1 -\dfrac{1}{1+x} = \dfrac{x}{1+x} \geqq 0 \] ゆえに, \(x \geqq 0\) で \(g(x)\) は単調増加し \[ g(x) \geqq g(0) = 0 \] よって \[ \log (1+x) \leqq x \]
(3)
(2) の結果より, \(x \geqq 0\) について \[\begin{align} x & \leqq 1+x \leqq e^x \\ \text{∴} \quad & x e^{-x} \leqq 1 \end{align}\] これと, (2) の結果を \(x \rightarrow e^{-2t}\) に置換えた式を用いれば \[ b(t) \leqq \dfrac{2}{e^t +e^{-t}} +e^{-2t} \]
(4)
[1] より \[\begin{align} f''(x) & = -2 \cdot \dfrac{-e^{-x} ( e^x +e^{-x} ) -e^{-x} ( e^x -e^{-x} )}{( e^x +e^{-x} )^2} \\ & = \dfrac{4}{e^x +e^{-x}} \end{align}\] また, [2] から \[\begin{align} b'(t) & = -f'(t) -t f''(t) +f'(t) \\ & = -t f''(t) = -\dfrac{4t}{( e^x +e^{-x} )^2} \end{align}\] 微分と積分の関係から \[\begin{align} b(x) -b(0) & = \displaystyle\int _ 0^x b'(t) \, dt = -\displaystyle\int _ 0^x \dfrac{4t}{( e^x +e^{-x} )^2} \, dt \\ \text{∴} \quad & b(0) -b(x) = \displaystyle\int _ 0^x \dfrac{4t}{( e^x +e^{-x} )^2} \, dt \quad ... [3] \end{align}\] (3) の結果より \[ 0 \leqq b(x) \leqq \underline{\dfrac{2}{e^x +e^{-x}} +e^{-2x}} _ {[4]} \] ここで, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} [4] = 0\) なので, はさみうちの原理より \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} b(x) = 0 \] よって, [3] についても \(x \rightarrow \infty\) のときを考えれば \[ b(0) = \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \displaystyle\int _ 0^x \dfrac{4t}{( e^x +e^{-x} )^2} \, dt \]