\(f(x) , g(x) , h(x)\) を \[\begin{align} f(x) & = \dfrac{1}{2} ( \cos x -\sin x ) \\ g(x) & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( x +\dfrac{\pi}{4} \right) \\ h(x) & = \sin x \\ \end{align}\] とおく. \(3\) つの曲線 \(y = f(x)\) , \(y = g(x)\) , \(y = h(x)\) の \(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) を満たす部分を, それぞれ \(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3\) とする.
(1) \(C _ 2\) と \(C _ 3\) の交点の座標を求めよ.
(2) \(C _ 1\) と \(C _ 3\) の交点の \(x\) 座標を \(\alpha\) とする. \(\sin \alpha , \cos \alpha\) の値を求めよ.
(3) \(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3\) によって囲まれる図形の面積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[ g(x) = \dfrac{1}{2} ( \sin x +\cos x ) \] なので, \(g(x) = h(x)\) より \[\begin{align} \sin x & = \cos x \\ \text{∴} \quad x & = \dfrac{\pi}{4} \quad \left( \ \text{∵} \ 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} \ \right) \end{align}\] よって, 求める座標は \[ \underline{\left( \dfrac{\pi}{4} , \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)} \]
(2)
\(f(x) = h(x)\) より \[\begin{align} 3 \sin x -\cos x & = 0 \\ \sqrt{10} \sin ( x -\beta ) & = 0 \quad ... [1] \end{align}\] ただし, \(0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) で \[ \sin \beta = \dfrac{1}{\sqrt{10}} , \ \cos \beta = \dfrac{3}{\sqrt{10}} \] \(-\beta \leqq x -\beta \leqq \dfrac{\pi}{2} -\beta\) に注意して, [1] をとくと \[ x = \beta \] よって, \(\alpha = \beta\) なので \[ \sin \alpha = \underline{\dfrac{1}{\sqrt{10}}} , \ \cos \alpha = \underline{\dfrac{3}{\sqrt{10}}} \]
(3)
\(f(x) = g(x)\) をとくと, \(x = 0\) .
したがって, \(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3\) に囲まれた部分は下図のようになる.
よって, 求める面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{4}} g(x) \, dx -\displaystyle\int _ 0^{\alpha} f(x) \, dx -\displaystyle\int _ {\alpha}^{\frac{\pi}{4}} h(x) \, dx \\ & = \dfrac{1}{2} \left[ -\cos x +\sin x \right] _ 0^{\frac{\pi}{4}} -\dfrac{1}{2} \left[ -\cos x +\sin x \right] _ 0^{\alpha} -\left[ -\cos x \right] _ 0^{\frac{\pi}{4}} \\ & = \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{2} ( \sin \alpha +\cos \alpha -1 ) +\dfrac{1}{\sqrt{2}} +\cos \alpha \\ & = \underline{1 +\dfrac{1}{\sqrt{2}} -\dfrac{5}{\sqrt{10}}} \end{align}\]