\(\alpha\) を実数でない複素数とし, \(\beta\) を正の実数とする. 以下の問いに答えよ. ただし, 複素数 \(w\) に対してその共役複素数を \(\overline{w}\) で表す.
(1) 複素数平面上で, 関係式 \(\alpha \overline{z} +\overline{\alpha} z = |z|^2\) を満たす複素数 \(z\) の描く図形を \(C\) とする. このとき, \(C\) は原点を通る円であることを示せ.
(2) 複素数平面上で, \(( z -\alpha ) ( \beta -\overline{\alpha} )\) が純虚数となる複素数 \(z\) の描く図形を \(L\) とする. \(L\) は (1) で定めた \(C\) と \(2\) つの共有点をもつことを示せ. また, その \(2\) 点を P , Q とするとき, 線分 PQ の長さを \(\alpha\) と \(\overline{\alpha}\) を用いて表せ.
(3) \(\beta\) の表す複素数平面上の点を R とする. (2) で定めた点 P , Q と点 R を頂点とする三角形が正三角形であるとき, \(\beta\) を \(\alpha\) と \(\overline{\alpha}\) を用いて表せ.
【 解 答 】
(1)
関係式を変形すると \[\begin{align} |z|^2 -\alpha \overline{z} -\overline{\alpha} z +| \alpha |^2 & = | \alpha |^2 \\ \text{∴} \quad | z -\alpha |^2 & = | \alpha |^2 \end{align}\] よって \(C\) は, 中心が点 \(\alpha\) , 半径 \(| \alpha |\) の円であり, 原点を通る.
(2)
条件より
\[
\left\{ \begin{array}{ll} ( z -\alpha ) ( \beta -\overline{\alpha} ) +\overline{( z -\alpha ) ( \beta -\overline{\alpha} )} = 0 & ... [1] \\ ( z -\alpha ) ( \beta -\overline{\alpha} ) \neq 0 & ... [2] \end{array} \right.
\]
条件より, \(\beta \neq \overline{\alpha}\) なので, [2] より
\[
z \neq \alpha \quad ... [3]
\]
\(\overline{\beta} = \beta\) に注意して, [1] を変形すると
\[\begin{align}
( z -\alpha ) ( \overline{\beta -\alpha} ) +( \overline{z -\alpha} ) ( \beta -\alpha ) & = 0 \\
\text{∴} \quad \dfrac{z -\alpha}{\beta -\alpha} +\overline{\left( \dfrac{z -\alpha}{\beta -\alpha} \right)} & = 0
\end{align}\]
したがって, \(\dfrac{z -\alpha}{\beta -\alpha}\) は純虚数であるから
\[
\text{直線} \ \alpha z \perp \text{直線} \alpha \beta
\]
つまり, \(L\) は, 点 \(\alpha\) を通り, 直線 \(\alpha \beta\) に垂直な直線である.
よって, \(L\) は \(C\) の中心を通るのだから, \(2\) つの共有点をもち, PQ は \(C\) の直径にあたるので
\[
\text{PQ} = \underline{2 | \alpha |}
\]
(3)
△ PQR が正三角形なので \[\begin{gather} | \beta -\alpha | = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 | \alpha | = \sqrt{3} | \alpha | \\ ( \beta -\alpha ) ( \beta -\overline{\alpha} ) = 3 \alpha \overline{\alpha} \\ {\beta}^2 -( \alpha +\overline{\alpha} ) \beta -3 \alpha \overline{\alpha} = 0 \\ \text{∴} \quad \beta = \underline{\dfrac{\alpha +\overline{\alpha} \pm \sqrt{{\alpha}^2 +14 \alpha \overline{\alpha} +{\overline{\alpha}}^2 }}{2}} \end{gather}\]