\(i\) を虚数単位とする. 複素数平面において, 複素数 \(z\) の表す点 P を P \((z)\) または点 \(z\) と書く. \(\omega = -\dfrac{1}{2} +\dfrac{\sqrt{3}}{2} i\) とおき, \(3\) 点 A \((1)\) , B \(( \omega )\) , C \(( \omega^2 )\) を頂点とする \(\triangle \text{ABC}\) を考える.
(1) \(\triangle \text{ABC}\) は正三角形であることを示せ.
(2) 点 \(z\) が辺 AC 上を動くとき, 点 \(-z\) が描く図形を複素数平面上に図示せよ.
(3) 点 \(z\) が辺 AB 上を動くとき, 点 \(z^2\) が描く図形を \(E_1\) とする. また, 点 \(z\) が辺 AC 上を動くとき, 点 \(z^2\) が描く図形を \(E_2\) とする. \(E_1\) と \(E_2\) の共有点をすべて求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} \omega & = \cos \dfrac{2 \pi}{3} +i \sin \dfrac{2 \pi}{3} \ , \\ \omega^2 & = \cos \dfrac{4 \pi}{3} +i \sin \dfrac{4 \pi}{3} = \cos \left( -\dfrac{2 \pi}{3} \right) +i \sin \left( -\dfrac{2 \pi}{3} \right) \end{align}\] したがって \[\begin{align} & \text{OA} = \text{OB} = \text{OC} = 1 \ , \\ & \angle \text{AOB} = \angle \text{BOC} = \angle \text{COA} = \dfrac{2 \pi}{3} \end{align}\] ゆえに, \(2\) 辺とその間の角がそれぞれ等しいので \[ \triangle \text{OAB} \equiv \triangle \text{OBC} \equiv \triangle \text{OCA} \] よって, \(\text{AB} = \text{BC} = \text{CA}\) なので, \(\triangle \text{ABC}\) は正三角形.
(2)
点 \(-z\) は点 \(z\) と原点について対称なので, 描く図形は下図実線部.
(3)
AB, AC 上を動く \(z\) をそれぞれ \(z_1 , z_2\) とおくと \(E_1 , E_2\) の共有点となるのは \[\begin{align} { z_1 }^2 & = { z_2 }^2 \\ \text{∴} \quad z_1 & = \pm z_2 \end{align}\]
\(z_1 = z_2\) のとき, AB と AC の共有点は A なので \[ z = 1 \] このとき, \(z^2 = 1\) .
\(z_1 = -z_2\) のとき, (2) で求めた図形と AB の共有点は \(\dfrac{i}{\sqrt{3}}\) なので \[ z = \dfrac{i}{\sqrt{3}} \] このとき, \(z^2 = -\dfrac{1}{3}\) .
よって, 求める共有点は \[ \underline{1 , -\dfrac{1}{3}} \]