多項式 \(f(x)\) について, 次の条件 (i) , (ii) , (iii) を考える.

1. (i)　\(x^4 f \left( \dfrac{1}{x} \right) = f(x)\)

2. (ii)　\(f(1-x) = f(x)\)

3. (iii)　\(f(1) = 1\)

このとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　条件 (i) をみたす多項式 \(f(x)\) の次数は \(4\) 以下であることを示せ.

2. (2)　条件 (i) , (ii) , (iii) をすべてみたす多項式 \(f(x)\) を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\(f(x) = a _ n x^n + \cdots +a _ 1 x +a _ 0 \ ( a _ n \neq 0 )\) とおくと \[ x^4 f \left( \dfrac{1}{x} \right) = a _ 0 x^4 + \cdots + a _ n x^{4-n} \] これが多項式となるので, 最後の項の次数に着目して \[\begin{align} 4-n & \geqq 0 \\ \text{∴} \quad n & \leqq 4 \end{align}\] よって, \(f(x)\) の次数は \(4\) 以下である.

(2)

(1) の結果より, \(f(x) = a _ 4 x^4 +a _ 3 x^3 +a _ 2 x^2 +a _ 1 x +a _ 0\) とおく. \[ x^4 f \left( \dfrac{1}{x} \right) = a _ 0 x^4 +a _ 1 x^3 +a _ 2 x^2 +a _ 3 x +a _ 4 \] なので, 条件 (i) より \[ a _ 3 = a _ 1 , \ a _ 4 = a _ 0 \] 条件 (ii) , (iii) より, \(f(0) = f(1) =1\) なので \[\begin{align} f(0) & = a _ 0 = 1 , \\ f(1) & = 2 +2 a _ 1 +a _ 2 = 1 \\ \text{∴} \quad a _ 2 & = -2 a _ 1 -1 \quad ... [1] \end{align}\] さらに, \(3\) 次の項に着目して \[\begin{align} f(1-x) & = (1-x)^4 +a _ 1 (1-x)^3 + \cdots \\ & = x^4 +( -a _ 1 -4 ) x^3 + \cdots \end{align}\] なので, 条件 (ii) より係数を比較して \[\begin{align} -a _ 1 -4 & = a _ 1 \\ \text{∴} \quad a _ 1 & = -2 \end{align}\] [1] に代入して \[ a _ 2 = 4-1 = 3 \] よって \[ f(x) = \underline{x^4 -2x^3 +3x^2 -2x +1} \] これは確かに条件 (ii) を満たしている.