\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする. 平面上の \(\triangle \text{OA} {} _ 1 \text{A} {} _ 2\) は \(\angle \text{OA} {} _ 2 \text{A} {} _ 1 = 90^{\circ}\) , \(\text{OA} {} _ 1 = 1\) , \(\text{A} {} _ 1 \text{A} {} _ 2 = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) をみたすとする. \(\text{A} {} _ 2\) から \(\text{OA} {} _ 1\) へ垂線をおろし, 交点を \(\text{A} {} _ 3\) とする. \(\text{A} {} _ 3\) から \(\text{OA} {} _ 2\) へ垂線をおろし, 交点を \(\text{A} {} _ 4\) とする. 以下同様に, \(k=4, 5, \cdots\) について, \(\text{A} {} _ k\) から \(\text{OA} {} _ {k-1}\) へ垂線をおろし, 交点を \(\text{A} {} _ {k+1}\) として, 順番に \(\text{A} {} _ 5 , \text{A} {} _ 6 , \cdots\) を定める. \(\overrightarrow{h _ k} = \overrightarrow{\text{A} {} _ k \text{A} {} _ {k+1}}\) とおくとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(k=1, 2, \cdots\) のとき, ベクトル \(\overrightarrow{h _ k}\) と \(\overrightarrow{h _ {k+1}}\) の内積 \(\overrightarrow{h _ k} \cdot \overrightarrow{h _ {k+1}}\) を \(n\) と \(k\) で表せ.
(2) \(S _ n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \overrightarrow{h _ k} \cdot \overrightarrow{h _ {k+1}}\) とおくとき, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n\) を求めよ. ここで, 自然対数の底 \(e\) について, \(e = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( 1 +\dfrac{1}{n} \right)^n\) であることを用いてもよい.
【 解 答 】
(1)
\(\angle \text{A} {} _ 1 \text{OA} {} _ 2 = \theta\) とおくと \[ \sin \theta = \dfrac{1}{\sqrt{n}} \] \(\triangle \text{A} {} _ {k+1} \text{A} {} _ k \text{A} {} _ {k+2} \sim \triangle \text{OA} {} _ 1 \text{A} {} _ 2\) なので \[ \left| \overrightarrow{h _ {k+1}} \right| = \left| \overrightarrow{h _ {k}} \right| \cos \theta \] \(\left| \overrightarrow{h _ 1} \right| = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) なので \[ \left| \overrightarrow{h _ {k}} \right| = \dfrac{\cos^{k-1}}{\sqrt{n}} \] よって \[\begin{align} \overrightarrow{h _ k} \cdot \overrightarrow{h _ {k+1}} & = \left| \overrightarrow{h _ {k}} \right| \left| \overrightarrow{h _ {k+1}} \right| \cos ( \pi -\theta ) \\ & = -\dfrac{\cos^{k-1}}{\sqrt{n}} \cdot \dfrac{\cos^{k}}{\sqrt{n}} \cdot \cos \theta \\ & = -\dfrac{\cos^{2k} \theta}{n} \\ & = -\dfrac{\left( 1 -\sin^2 \theta \right)^k}{n} \\ & = \underline{- \dfrac{1}{n} \left( 1 -\dfrac{1}{n} \right)^k} \end{align}\]
(2)
\[\begin{align} S _ n & = -\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \dfrac{1}{n} \left( 1 -\dfrac{1}{n} \right)^k \\ & = -\dfrac{1}{n} \left( 1 -\dfrac{1}{n} \right) \cdot \dfrac{1 -\left( 1 -\frac{1}{n} \right)^n}{1 -\left( 1 -\frac{1}{n} \right)} \\ & = -\left( 1 -\dfrac{1}{n} \right) \left\{ 1 -\left( 1 -\dfrac{1}{n} \right) \left( \dfrac{n-1}{n} \right)^{n-1} \right\} \\ & = -\left( 1 -\dfrac{1}{n} \right) \left\{ 1 -\left( 1 -\dfrac{1}{n} \right) \cdot \dfrac{1}{\left( 1 -\frac{1}{n-1} \right)^{n-1}} \right\} \\ & \rightarrow -1 \left( 1 -1 \cdot \dfrac{1}{e} \right) \quad ( \ n \rightarrow \infty \text{のとき} ) \\ & = -1+\dfrac{1}{e} \end{align}\] よって \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n = \underline{-1+\dfrac{1}{e}} \]