\(\theta\) を \(0 \lt \theta \lt \dfrac{2 \pi}{3}\) の範囲にある実数とし, 空間の \(4\) 点 O , A , B , C が, \(\text{OA} = \text{OB} = \text{OC} = 1\) かつ \(\angle \text{AOB} = \angle \text{BOC} = \angle \text{COA} = \theta\) をみたすとする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) △ABC の重心を G とするとき, AG と OG をそれぞれ \(\theta\) で表せ.
(2) \(\theta\) を動かしたとき, O , A , B , C を頂点とする四面体の体積の最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} \text{AB} & = \text{BC} =\text{CA} =\sqrt{1^2 +1^2 -2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos \theta} \\ & = \sqrt{2 ( 1 -\cos \theta )} \end{align}\] なので, △ABC は正三角形だから \[\begin{align} \text{AG} & = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{AB} \\ & = \underline{\sqrt{\dfrac{2( 1 -\cos \theta )}{3}}} \end{align}\] また, 三平方の定理より \[\begin{align} \text{OG} & = \sqrt{1^2 -\dfrac{2( 1 -\cos \theta )}{3}} \\ & = \underline{\sqrt{\dfrac{1 +2 \cos \theta}{3}}} \end{align}\]
(2)
△ABC の面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \dfrac{1}{2} \text{AB} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{AB} \\ & = \dfrac{\sqrt{3} ( 1 -\cos \theta )}{2} \end{align}\] 四面体 OABC の体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = \dfrac{1}{3} S \cdot \text{OG} \\ & = \dfrac{( 1 -\cos \theta ) \sqrt{1 +2 \cos \theta}}{6} \quad ... [1] \end{align}\] [1] の分子に着目して, \(f(t) = (1-t)^2 (1+2t) \ \left( -\dfrac{1}{2} \lt t \lt 0 \right)\) とおくと \[\begin{align} f'(t) & = 2(t-1) (2t+1) +(t-1)^2 \cdot 2 \\ & = 6t (t-1) \end{align}\] したがって, \(f(t)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} t & \left( -\frac{1}{2} \right) \ & \cdots & 0 & \cdots & (1) \\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array} \] したがって, \(f(t)\) の最大値は \[ f(0) = 1 \] よって, \(V\) の最大値は \[ \dfrac{1}{6} f(0) = \underline{\dfrac{1}{6}} \quad \left( \theta = \dfrac{\pi}{2} \text{のとき} \right) \]