\(L\) を \(2\) 以上の自然数, \(a\) を \(0 \lt a \lt 1\) を満たす実数とする. 縦 \(1\) cm , 横 \((L+1)\) cm の長方形の紙を用いて, 次のように長方形 \(A, B\) を作る.

　長方形 \(A\) の作り方. \(L\) 枚の紙を横に並べて, 順に \(1\) 辺 \(1\) cm の正方形をのりしろとして（隣り合う紙が横 \(1\) cm 重なるように）はり合わせ, 縦 \(1\) cm の横長の長方形を作る.

　長方形 \(B\) の作り方. \(L\) 枚の紙を縦に並べて, 隣り合う紙が縦 \(a\) cm 重なるようにはり合わせて, 横 \((L+1)\) cm の長方形を作る.

　長方形 \(A, B\) の面積をそれぞれ \(S _ 1 \ \text{cm}^2\) および \(S _ 2 \ \text{cm}^2\) とおくとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(S _ 1\) と \(S _ 2\) を求めよ.

2. (2)　\(L=2\) のとき, \(S _ 1 -1 \lt S _ 2\) となる \(a\) の範囲を求めよ.

3. (3)　\(S _ 1 -1 \lt S _ 2\) となる \(2\) 以上の自然数 \(L\) があるような \(a\) の範囲を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\[\begin{align} S _ 1 & = 1 \cdot \left\{ L (L+1) -(L-1) \right\} \\ & = \underline{L^2+1} , \\ S _ 2 & = (L+1) \{ L-a(L-1) \} \\ & = \underline{(1-a)L^2 +L+a} \end{align}\]

(2)

\(L=2\) のとき, \(S _ 1-1 \lt S _ 2\) を解くと \[\begin{align} 4 & \lt 4(1-a) +2+a \\ \text{∴} \quad a & \lt \dfrac{2}{3} \end{align}\] よって, \(0 \lt a<1\) なので \[ \underline{0 \lt a \lt \dfrac{2}{3}} \]

(3)

\(S _ 1-1 \lt S _ 2\) より \[\begin{align} L^2 \lt (1-a)L^2 +L & +a \\ (L^2-1) a -L & \lt 0 \quad ... [1] \end{align}\] \(L \geqq 2\) のときについて, [1] を \(a\) について解けばよい.
\(L^2-1 \gt 0\) なので, [1] より \[ a \lt \dfrac{L}{L^2-1} \] 両辺逆数をとって \[ \dfrac{1}{a} \gt L -\dfrac{1}{L} \] \(f(L) = L -\dfrac{1}{L}\) とおくと \[ f'(L) = 1 +\dfrac{1}{L^2} \gt 0 \] なので, \(f(L)\) は \(L \geqq 2\) において単調増加するので \[ \dfrac{1}{a} \gt f(L) \geqq f(2) = \dfrac{3}{2} \] よって, \(0 \lt a \lt 1\) なので \[ \underline{0 \lt a \lt \dfrac{2}{3}} \]