\(a, b, c, d, p, q\) は \(ad-bc \gt 0 , \ p \gt 0 , \ q \gt 0\) を満たす実数とする. \(2\) つの行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) と \(P = \left( \begin{array}{cc} p & 0 \\ 0 & q \end{array} \right)\) が \(APA = P^2\) を満たすとする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(P^3 A = A P^3\) が成り立つことを示せ.
(2) \(A\) を \(p\) と \(q\) で表せ.
【 解 答 】
(1)
\[
APA = P^2 \quad ... [1]
\]
\(ad-bc \neq 0\) より \(A^{-1}\) は存在する.
[1] の両辺に右から \(A^{-1}\) を掛けると
\[
AP = P^2 A^{-1} \quad ... [2]
\]
よって, [1] の両辺に [2] の各辺を右から掛ければ
\[\begin{align}
P^2 A^{-1} APA & = AP P^2 \\
\text{∴} \quad P^3 A & = A P^3
\end{align}\]
(2)
(1) の結果より \[\begin{align} \left( \begin{array}{cc} p^3 & 0 \\ 0 & q^3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} p^3 & 0 \\ 0 & q^3 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{cc} a p^3 & b p^3 \\ c q^3 & d q^3 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} a p^3 & b q^3 \\ c p^3 & d q^3 \end{array} \right) \\ \text{∴} \quad b ( p^3 -q^3 ) = 0 , & \ c ( p^3 -q^3 ) = 0 \end{align}\] これを満たすのは \[ p=q \ \text{または} \ b=c=0 \]
1* \(p=q\) のとき
\(P = pE\) と表せて, [1] に代入すると \[\begin{align} p A^2 & = p^2 E \\ \text{∴} \quad A^2 -p E & = 0 \quad ( \ \text{∵} \ p \neq 0 \ ) \end{align}\] ケーリー・ハミルトンの定理より \[ ad-bc = -p \lt 0 \] これは条件に矛盾するので, 不適である.2* \(b=c=0\) のとき
\(A = \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & d \end{array} \right)\) と表せて, \(ad \gt 0 \quad ... [3]\) . \[ A^{-1} = \dfrac{1}{ad} \left( \begin{array}{cc} d & 0 \\ 0 & a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{a} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{d} \end{array} \right) \] これらを [2] に代入すれば \[\begin{align} \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} p & 0 \\ 0 & q \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} p^2 & 0 \\ 0 & q^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{a} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{d} \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{cc} ap & 0 \\ 0 & dq \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} \dfrac{p^2}{a} & 0 \\ 0 & \dfrac{q^2}{d} \end{array} \right) \\ \text{∴} \quad ap = \dfrac{p^2}{a} , & \ dq = \dfrac{q^2}{d} \end{align}\] \(p \neq 0 , \ q \neq 0\) なので \[\begin{align} a^2 = p , & \ d^2 = q \\ \text{∴} \quad a = \pm \sqrt{p} , & \ d = \pm \sqrt{q} \end{align}\] ただし, [3] より \(a\) と \(d\) は同符号である.
以上より \[ A = \underline{\left( \begin{array}{cc} \pm \sqrt{p} & 0 \\ 0 & \pm \sqrt{q} \end{array} \right) \quad ( \text{複号同順} )} \]