\(a , b\) を正の実数とする. 曲線 \(C : \ y = x^3-a^2x+a^3\) と点 P \((b , 0)\) を考える. 以下の問いに答えよ.
(1) 点 P から曲線 \(C\) に接線がちょうど \(3\) 本引けるような点 \((a,b)\) の存在する領域を図示せよ.
(2) 点 P から曲線 \(C\) に接線がちょうど \(2\) 本引けるとする. \(2\) つの接点を A , B としたとき, \(\angle \text{APB}\) が \(90^{\circ}\) より小さくなるための \(a\) と \(b\) の条件を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(C\) の式より
\[
y' = 3x^2-a^2
\]
なので, \(C\) 上の \(x\) 座標が \(t\) である点における接線の式は
\[\begin{align}
y & = ( 3t^2-a^2 )( x-t ) +t^3 -a^2 t +a^3 \\
& = ( 3t^2-a^2 ) x -2t^3 +a^3
\end{align}\]
これが点 P を通るとき
\[\begin{align}
( 3t^2-a^2 ) b -2t^3 +a^3 & = 0 \\
\text{∴} \quad 2t^3 -3bt^2 +a^2(b-a) & = 0 \quad ... [1]
\end{align}\]
\(t\) の方程式 [1] が \(3\) つの異なる解をもつ条件を求めればよい.
[1] の左辺を \(f(t)\) とおくと
\[
f'(t) = 6t^2-6bt = 6t(t-b)
\]
したがって, \(f(t)\) の増減は下表のようになる.
\[
\begin{array}{c|ccccc} t & \cdots & 0 & \cdots & b & \cdots \\ \hline f'(t) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(t) & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array}
\]
求める条件は
\[
f(0) \gt 0 \quad ... [2] \ \text{かつ} \ f(b) \lt 0 \quad ... [3]
\]
[2] より
\[\begin{align}
f(0) & = a^2(b-a) \gt 0 \\
\text{∴} \quad b & \gt a \quad ... [4]
\end{align}\]
[4] であれば, [3] について
\[\begin{align}
f(b) & = a^2(b-a) -b^3 \\
& \lt a^2b -b^3 \\
& = b(a^2-b^2) \lt 0 \quad ... [5]
\end{align}\]
で, [3] も成立する.
よって, 求める領域は下図斜線部（境界と○は含まない）.
(2)
接線がちょうど \(2\) 本引けるのは, (1) の経過より
\[
f(0) = 0 \ \text{または} \ f(b) = 0
\]
となるときである.
しかし, [5] より \(b \gt a\) のとき, \(f(b) \lt 0\) .
また, \(b \leqq a\) のとき
\[
f(b) = -a^2(a-b) -b^3 \leqq -b^3 \lt 0
\]
したがって常に
\[
f(b) \lt 0
\]
ゆえに, \(f(0) = 0\) となるときについてのみ考えればよい.
\[\begin{align}
f(0) = a^2(b-a) & = 0 \\
\text{∴} \quad b & = a
\end{align}\]
このとき [1] の解は
\[\begin{align}
2t^3 -3at^2 & = 0 \\
t^2 ( 2t-3a ) & = 0 \\
\text{∴} \quad t & = 0 , \dfrac{3a}{2}
\end{align}\]
したがって
\[
\text{A} \ \left( 0, a^3 \right) , \quad B \ \left( \dfrac{3a}{2} , \dfrac{23a^3}{8} \right) , \quad P \ ( a, 0 )
\]
したがって, \(\angle \text{APB}\) が \(90^{\circ}\) より小さくなる条件は, ベクトル \(\overrightarrow{\text{PA}}\) と \(\overrightarrow{\text{PB}}\) の内積を考えて
\[\begin{align}
\overrightarrow{\text{PA}} \cdot \overrightarrow{\text{PB}} & \gt 0 \\
(-a) \cdot \dfrac{a}{2} + a^3 \cdot \dfrac{23a^3}{8} & \gt 0 \\
a^4 & \gt \dfrac{4}{23} \\
\text{∴} \quad a & \gt \sqrt[4]{\dfrac{4}{23}}
\end{align}\]
よって, 求める条件は
\[
\underline{a = b \gt \sqrt[4]{\dfrac{4}{23}}}
\]