\(1, 2, 3, 4\) の数字が \(1\) つずつ書かれた \(4\) 枚のカードを用いて, 次の手順で \(5\) 桁の整数をつくる. まず \(1\) 枚を取り出して現れた数字を \(1\) の位とする. 取り出した \(1\) 枚を元に戻し, \(4\) 枚のカードをよく混ぜて, 再び \(1\) 枚を取り出して現れた数字を \(10\) の位とする. このような操作を \(5\) 回繰り返して, \(5\) 桁の整数をつくる. 得られた整数を \(X\) とするとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(X\) に数字 \(1\) がちょうど \(2\) 回現れる確率を求めよ.
(2) \(X\) に数字 \(1\) と数字 \(2\) がちょうど \(1\) 回ずつ現れる確率を求めよ.
(3) \(X\) にちょうど \(2\) 回現れる数字が \(1\) 種類以上ある確率を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(5\) 桁の整数は全部で, \(4^5\) 通りあり, それぞれの整数が得られる確率は同様に確からしい.
\(1\) が現れる桁の選び方は \({} _ {5} \text{C} {} _ 2\) 通り, 他の3桁の \(3\) 種類の数字の並べ方は \(3^3\) 通りあるので, 求める確率は
\[
\dfrac{{} _ {5} \text{C} {} _ 2 \cdot 3^3}{4^5} = \underline{\dfrac{135}{512}}
\]
(2)
\(1, 2\) が現れる桁の選び方は \({} _ {5}\text{P} _ 2\) 通り, 他の \(3\) 桁の \(2\) 種類の数字の並べ方は \(2^3\) 通りあるので, 求める確率は \[ \dfrac{{} _ {5}\text{P} _ 2 \cdot 2^3}{4^5} = \underline{\dfrac{5}{32}} \]
(3)
次の \(2\) つの場合に分けて考える.
1* ちょうど \(2\) 回現れる数字が \(1\) 種類だけのとき
\(2\) 回現れる数字の選び方は \({} _ {4} \text{C} {} _ 1\) 通り, それが現れる桁の選び方は \({} _ {5} \text{C} {} _ 2\) 通り, 他の \(3\) 桁の \(3\) 種類の数字の並べ方は「 \(3\) 種類が \(1\) 回ずつ」か「 \(1\) 種類が \(3\) 回」現れるときを考えて, \(3 ! +3\) 通りあるので \[ \dfrac{{} _ {4} \text{C} {} _ 1 \cdot {} _ {5} \text{C} {} _ 2 \cdot ( 3 ! +3 )}{4^5} = \dfrac{360}{4^5} \]2* ちょうど \(2\) 回現れる数字が \(2\) 種類のとき
\(2\) 回現れる数字の選び方は \({} _ {4} \text{C} {} _ 2\) 通り, それが現れる桁の選び方は \({} _ {5} \text{C} {} _ 2 \cdot {} _ {3} \text{C} {} _ 2\) 通り, 他の \(1\) 桁の \(2\) 種類の数字の並べ方は \(2\) 通りあるので \[ \dfrac{{} _ {4} \text{C} {} _ 2 \cdot {} _ {5} \text{C} {} _ 2 \cdot {} _ {3} \text{C} {} _ 2 \cdot 2}{4^5} = \dfrac{360}{4^5} \]
以上より, 求める確率は \[ \dfrac{360}{4^5} +\dfrac{360}{4^5} = \underline{\dfrac{45}{64}} \]