四面体 ABCD において, 辺 AB の中点を M , 辺 CD の中点を N とする. 以下の問いに答えよ.
(1) 等式 \[ \overrightarrow{\text{PA}} +\overrightarrow{\text{PB}} = \overrightarrow{\text{PC}} +\overrightarrow{\text{PD}} \] を満たす点 P は存在するか. 証明をつけて答えよ.
(2) 点 Q が等式 \[ \left| \overrightarrow{\text{QA}} +\overrightarrow{\text{QB}} \right| = \left| \overrightarrow{\text{QC}} +\overrightarrow{\text{QD}} \right| \] を満たしながら動くとき, 点 Q が描く図形を求めよ.
(3) 点 R が等式 \[ \left| \overrightarrow{\text{RA}} \right|^2 + \left| \overrightarrow{\text{RB}} \right|^2 = \left| \overrightarrow{\text{RC}} \right|^2 + \left| \overrightarrow{\text{RD}} \right|^2 \] を満たしながら動くとき, 内積 \(\overrightarrow{\text{MN}} \cdot \overrightarrow{\text{MR}}\) は R のとり方によらず一定であることを示せ.
(4) (2) の点 Q が描く図形と (3) の点 R が描く図形が一致するための必要十分条件は \(\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right| = \left| \overrightarrow{\text{CD}} \right|\) であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
与えられた等式より \[\begin{align} \dfrac{1}{2} \left( \overrightarrow{\text{PA}} +\overrightarrow{\text{PB}} \right) & = \dfrac{1}{2} \left( \overrightarrow{\text{PC}} +\overrightarrow{\text{PD}} \right) \\ \text{∴} \quad \overrightarrow{\text{PM}} & = \overrightarrow{\text{PN}} \end{align}\] 四面体 ABCD において, M と N が一致することはないので, このような点 P は存在しない.
(2)
与えられた等式より \[\begin{align} \left| \dfrac{1}{2} \left( \overrightarrow{\text{PA}} +\overrightarrow{\text{PB}} \right) \right| & = \left| \dfrac{1}{2} \left( \overrightarrow{\text{PC}} +\overrightarrow{\text{PD}} \right) \right| \\ \text{∴} \quad \left| \overrightarrow{\text{QM}} \right| & = \left| \overrightarrow{\text{QN}} \right| \end{align}\] よって, 点 Q の描く図形は \[ \underline{\text{MとNの垂直二等分面}} \]
(3)
与えられた等式より \[\begin{align} \left| \overrightarrow{\text{RM}} +\overrightarrow{\text{MA}} \right|^2 + \left| \overrightarrow{\text{RM}} -\overrightarrow{\text{MA}} \right|^2 & = \left| \overrightarrow{\text{RN}} +\overrightarrow{\text{NC}} \right|^2 + \left| \overrightarrow{\text{RN}} -\overrightarrow{\text{NC}} \right|^2 \\ \left| \overrightarrow{\text{RM}} \right|^2 + \left| \overrightarrow{\text{MA}} \right|^2 & = \left| \overrightarrow{\text{RN}} \right|^2 + \left| \overrightarrow{\text{NC}} \right|^2 \\ \left( \overrightarrow{\text{RM}} +\overrightarrow{\text{RN}} \right) \cdot \left( \overrightarrow{\text{RM}} -\overrightarrow{\text{RN}} \right) & = \left| \overrightarrow{\text{NC}} \right|^2 -\left| \overrightarrow{\text{MA}} \right|^2 \quad ... [1] \\ \left( 2 \overrightarrow{\text{MR}} -\overrightarrow{\text{MN}} \right) \cdot \overrightarrow{\text{MN}} & = \left| \overrightarrow{\text{NC}} \right|^2 -\left| \overrightarrow{\text{MA}} \right|^2 \\ \text{∴} \quad \overrightarrow{\text{MR}} \cdot \overrightarrow{\text{MN}} & = \dfrac{1}{2} \left( \left| \overrightarrow{\text{MN}} \right|^2 +\left| \overrightarrow{\text{NC}} \right|^2 -\left| \overrightarrow{\text{MA}} \right|^2 \right) \end{align}\] よって, \(\overrightarrow{\text{MR}} \cdot \overrightarrow{\text{MN}}\) は一定である.
(4)
点 Q と点 R の描く図形が一致するのは
\[
\left| \overrightarrow{\text{RM}} \right| = \left| \overrightarrow{\text{RN}} \right| \quad ... [2]
\]
が成立するときである.
[2] を変形すると
\[\begin{align}
\left| \overrightarrow{\text{RM}} \right|^2 & = \left| \overrightarrow{\text{RN}} \right|^2 \\
\left( \overrightarrow{\text{RM}} +\overrightarrow{\text{RN}} \right) \cdot \left( \overrightarrow{\text{RM}} -\overrightarrow{\text{RN}} \right) & = 0 \\
\left| \overrightarrow{\text{NC}} \right|^2 -\left| \overrightarrow{\text{MA}} \right|^2 & = 0 \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \\
\left| \overrightarrow{\text{MA}} \right|^2 & = \left| \overrightarrow{\text{NC}} \right|^2 \\
\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|^2 & = \left| \overrightarrow{\text{CD}} \right|^2 \\
\text{∴} \quad \left| \overrightarrow{\text{AB}} \right| & = \left| \overrightarrow{\text{CD}} \right|
\end{align}\]
逆も成立するので, 題意は示された.