\(0 \lt t \lt 3\) のとき, 連立方程式 \[ \left\{ \begin{array}{l} 0 \leqq y \leqq \sin x \\ 0 \leqq x \leqq t-y \end{array} \right. \] の表す領域を \(x\) 軸のまわりに回転して得られる立体の体積を \(V(t)\) とする. \(\dfrac{d}{dt} V(t) = \dfrac{\pi}{4}\) となる \(t\) と, そのときの \(V(t)\) の値を求めよ.
【 解 答 】
\(f(x) = \sin x -(t-x)\) とおくと, \(0 \lt x\lt 3\) において
\[
f'(x) = \cos x +x \gt 0
\]
また
\[
f(0) = -t \lt 0 , \ f(3) = \cos 3 +3 \gt -1+3 \gt 0
\]
なので, \(f(x)= 0\) はこの区間に唯一の解をもつ.
これを \(\alpha\) とおくと, 与えられた連立方程式の表す領域は下図斜線部のようになる.
また \[\begin{align} t -\alpha & = \sin \alpha \\ \text{∴} \quad t & = \alpha +\sin \alpha \quad ... [1] \end{align}\] したがって \[\begin{align} V(t) & = \pi \displaystyle\int _ 0^{\alpha} \sin^2 x \, dx +\dfrac{\pi}{3} (t -\alpha)^3 \\ & = \dfrac{\pi}{2} \displaystyle\int _ 0^{\alpha} ( 1 -\cos 2x ) \, dx +\dfrac{\pi}{3} \sin^3 \alpha \\ & = \dfrac{\pi}{2} \left[ x -\dfrac{\sin 2x}{2} \right] _ 0^{\alpha} +\dfrac{\pi}{3} \sin^3 \alpha \\ & = \dfrac{\pi \alpha}{2} -\dfrac{\pi \sin 2 \alpha}{4} +\dfrac{\pi}{3} \sin^3 \alpha \end{align}\] [1] より \[\begin{align} dt & = ( 1 +\cos \alpha ) \, d \alpha \\ \text{∴} \quad \dfrac{d \alpha}{dt} & = \dfrac{1}{1 +\cos \alpha} \end{align}\] これを用いれば \[\begin{align} \dfrac{d V(t)}{dt} & = \left( \dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi \cos 2 \alpha}{2} +\pi \sin^2 x \cos x \right) \dfrac{d \alpha}{dt} \\ & = \dfrac{\pi \left\{ 1 -( 2 \cos^2 \alpha -1 ) +( 1 -\cos^2 \alpha ) \cos \alpha \right\}}{2 ( 1 +\cos \alpha )} \\ & = \pi ( 1 -\cos^2 \alpha ) \\ & = \pi \sin^2 \alpha \end{align}\] したがって, \(\dfrac{d}{dt} V(t) = \dfrac{\pi}{4}\) を解くと \[\begin{align} \pi \sin^2 \alpha & = \dfrac{\pi}{4} \\ \sin^2 \alpha & = \dfrac{1}{4} \\ \text{∴} \quad \alpha & = \dfrac{\pi}{6} , \dfrac{5 \pi}{6} \end{align}\] このうち, \(\pi \gt 3\) より \[ t = \dfrac{5 \pi}{6} + \dfrac{1}{2} \gt \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} \gt 3 \] なので, 求める \(t\) の値は \[ t = \underline{\dfrac{\pi}{6} +\dfrac{1}{2}} \] このとき \[\begin{align} V \left( \dfrac{\pi}{6} +\dfrac{1}{2} \right) & = \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{\pi}{6} +\dfrac{\pi}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} +\dfrac{\pi}{3} \left( \dfrac{1}{2} \right)^3 \\ & = \underline{\dfrac{\pi^2}{12} +\dfrac{\sqrt{3} \pi}{8} +\dfrac{\pi }{24}} \end{align}\]