\(xy\) 平面において, 原点を中心とし P \((1,0)\) を頂点の \(1\) つとする正 \(6\) 角形を \(X\) とする. \(A\) を \(2\) 次の正方行列とし, \(X\) の各頂点 \((x,y)\) に対して, 行列 \(A\) の表す移動 \[ \left( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] で得られる点 \((x' , y')\) は \(X\) の辺上の点（頂点を含む）であるとする. 以下の問いに答えよ.
(1) 点 P が行列 \(A\) の表す移動で P 自身に移るとき, \(X\) の各頂点は \(X\) のいずれかの頂点に移ることを示せ. また, そのときの行列 \(A\) を求めよ.
(2) 点 P が行列 \(A\) の表す移動で \(X\) のある頂点に移るとき, \(X\) の各頂点は \(X\) のいずれかの頂点に移ることを示せ. また, そのときの行列 \(A\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(X\) の各頂点を \(\text{P} {} _ k \, \left( \cos \dfrac{k \pi}{3} , \sin \dfrac{k \pi}{3} \right) \ ( k = 0, 1, \cdots , 5 )\) とおく.
点 \(\text{P} {} _ k\) が \(A\) の移動によって移る点を \(\text{P'} {} _ k\) とおく.
\(X\) は正 \(6\) 角形なので
\[
\overrightarrow{\text{P} {} _ 2\text{P} {} _ 1} = \overrightarrow{\text{OP}} \quad ... [1]
\]
条件より, \(\overrightarrow{\text{OP}} = A \, \overrightarrow{\text{OP}}\) なので
\[
\overrightarrow{\text{P'} {} _ 2\text{P'} {} _ 1} = \overrightarrow{\text{OP}}
\]
点 \(\text{P'} {} _ , \text{P'} {} _ 2\) は \(X\) 上の点だから
\[
\overrightarrow{\text{P'} {} _ 2\text{P'} {} _ 1} = \overrightarrow{\text{P} {} _ 2\text{P} {} _ 1} , \ \overrightarrow{\text{P} {} _ 4\text{P} {} _ 5}
\]
よって, 点 \(\text{P} {} _ 1\) は点 \(\text{P} {} _ 1\) または \(\text{P} {} _ 5\) に移る.
したがって
\[
A \left( \begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right)
\]
ここで
\[\begin{align}
\left( \begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right)^{-1} & = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \left( \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{array} \right) \\
& = \left( \begin{array}{cc} 1 & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{3}} \end{array} \right)
\end{align}\]
なので
\[\begin{align}
A & = \left( \begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{3}} \end{array} \right) \\
& = \underline{\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{array} \right)}
\end{align}\]
また, \(2\) つの行列は, 移動なし（同値変換）と \(x\) 軸対称移動なので, 各頂点はいずれかの頂点に移動する.
(2)
(1) と同様にして考える.
ただし, \(\text{P} {} _ k\) と \(\text{P} {} _ {k \pm 6}\) は同じ点であるとする.
点 P が点 \(\text{P} {} _ k\) に移動するとき,
\[
\overrightarrow{\text{P'} {} _ 2\text{P'} {} _ 1} = \overrightarrow{\text{OP} {} _ k}
\]
点 \(\text{P'} {} _ 1\) , \(\text{P'} {} _ 2\) は \(X\) 上の点だから
\[
\overrightarrow{\text{P'} {} _ 2\text{P'} {} _ 1} = \overrightarrow{\text{P} {} _ {k+2}\text{P} {} _ {k+1}} , \ \overrightarrow{\text{P} {} _ {k-2}\text{P} {} _ {k-1}}
\]
よって, 点 \(\text{P} {} _ 1\) は点 \(\text{P} {} _ {k+1}\) または \(\text{P} {} _ {k-1}\) に移る.
したがって
\[
A \left( \begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos \frac{k \pi}{3} & \cos \frac{(k \pm 1) \pi}{3} \\ \sin \frac{k \pi}{3} & \sin \frac{(k \pm 1) \pi}{3} \end{array} \right)
\]
ゆえに
\[\begin{align}
A & = \left( \begin{array}{cc} \cos \frac{k \pi}{3} & \cos \frac{(k \pm 1) \pi}{3} \\ \sin \frac{k \pi}{3} & \sin \frac{(k \pm 1) \pi}{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{3}} \end{array} \right) \\
& = \left( \begin{array}{cc} \cos \frac{k \pi}{3} & \frac{1}{\sqrt{3}} \left\{ -\cos \frac{k \pi}{3} +\cos \frac{(k \pm 1) \pi}{3} \right\} \\ \sin \frac{k \pi}{3} & \frac{1}{\sqrt{3}} \left\{ -\sin \frac{k \pi}{3} +\sin \frac{(k \pm 1) \pi}{3} \right\} \end{array} \right)
\end{align}\]
1* \(k=0\) のとき
(1) で求めた通りで \[ A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos 0 & \mp \sin 0 \\ \sin 0 & \pm \cos 0 \end{array} \right) \]2* \(k=1\) のとき \[\begin{align} A & = \left( \begin{array}{cc} \cos \frac{\pi}{3} & \frac{1}{\sqrt{3}} \left\{ -\cos \frac{\pi}{3} +\cos \frac{(1 \pm 1) \pi}{3} \right\} \\ \sin \frac{\pi}{3} & \frac{1}{\sqrt{3}} \left\{ -\sin \frac{\pi}{3} +\sin \frac{(1 \pm 1) \pi}{3} \right\} \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \mp \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \pm \frac{1}{2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos \frac{\pi}{3} & \mp \sin \frac{\pi}{3} \\ \sin \frac{\pi}{3} & \pm \cos \frac{\pi}{3} \end{array} \right) \end{align}\]
3* \(k=2\) のとき \[\begin{align} A & = \left( \begin{array}{cc} \cos \frac{2 \pi}{3} & \frac{1}{\sqrt{3}} \left\{ -\cos \frac{2 \pi}{3} +\cos \frac{(2 \pm 1) \pi}{3} \right\} \\ \sin \frac{2 \pi}{3} & \frac{1}{\sqrt{3}} \left\{ -\sin \frac{2 \pi}{3} +\sin \frac{(2 \pm 1) \pi}{3} \right\} \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{2} & \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \mp \frac{1}{2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos \frac{2 \pi}{3} & \mp \sin \frac{2 \pi}{3} \\ \sin \frac{2 \pi}{3} & \pm \cos \frac{2 \pi}{3} \end{array} \right) \end{align}\]
4* \(k=3\) のとき \[\begin{align} A & = \left( \begin{array}{cc} \cos \pi & \frac{1}{\sqrt{3}} \left\{ -\cos \pi +\cos \frac{(3 \pm 1) \pi}{3} \right\} \\ \sin \pi & \frac{1}{\sqrt{3}} \left\{ -\sin \pi +\sin \frac{(3 \pm 1) \pi}{3} \right\} \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos \pi & \mp \sin \pi \\ \sin \pi & \pm \cos \pi \end{array} \right) \end{align}\]
5* \(k=4\) のとき \[\begin{align} A & = \left( \begin{array}{cc} \cos \frac{4 \pi}{3} & \frac{1}{\sqrt{3}} \left\{ -\cos \frac{4 \pi}{3} +\cos \frac{(4 \pm 1) \pi}{3} \right\} \\ \sin \frac{4 \pi}{3} & \frac{1}{\sqrt{3}} \left\{ -\sin \frac{4 \pi}{3} +\sin \frac{(4 \pm 1) \pi}{3} \right\} \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{2} & \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \mp \frac{1}{2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos \frac{4 \pi}{3} & \mp \sin \frac{4 \pi}{3} \\ \sin \frac{4 \pi}{3} & \pm \cos \frac{4 \pi}{3} \end{array} \right) \end{align}\]
6* \(k=5\) のとき \[\begin{align} A & = \left( \begin{array}{cc} \cos \frac{5 \pi}{3} & \frac{1}{\sqrt{3}} \left\{ -\cos \frac{5 \pi}{3} +\cos \frac{(5 \pm 1) \pi}{3} \right\} \\ \sin \frac{5 \pi}{3} & \frac{1}{\sqrt{3}} \left\{ -\sin \frac{5 \pi}{3} +\sin \frac{(5 \pm 1) \pi}{3} \right\} \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \mp \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \pm \frac{1}{2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos \frac{5 \pi}{3} & \mp \sin \frac{5 \pi}{3} \\ \sin \frac{5 \pi}{3} & \pm \cos \frac{5 \pi}{3} \end{array} \right) \end{align}\]
1* ～ 6* で求めた行列は, 原点中心の \(\dfrac{k \pi}{3}\) 回転, あるいはこれと \(x\) 軸対称移動を組合せた移動を表すので, 各頂点はいずれかの頂点に移動する.
よって, 求める行列は
\[\begin{align}
A & = \underline{\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{array} \right) , \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{array} \right) , } \\
& \quad \underline{\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \mp \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \pm \frac{1}{2} \end{array} \right) , \left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{2} & \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \mp \frac{1}{2} \end{array} \right) , } \\
& \qquad \underline{\left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{2} & \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \mp \frac{1}{2} \end{array} \right) , \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \mp \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \pm \frac{1}{2} \end{array} \right) \quad ( \text{複号同順} )}
\end{align}\]